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国立 徳島大学 2013年 第2問$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
私立 岡山理科大学 2013年 第2問$3$種類の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$を，くり返しを許して$1$列に$6$個並べるとき，次のような並べ方はそれぞれ何通りあるか．
(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．
(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．
私立 北海道薬科大学 2013年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
私立 北里大学 2013年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)$(1-i)^{10}$を計算せよ．ただし，$i^2=-1$である．
(5)$\log_{10}2+\log_{10}80-4 \log_{10}2$を簡単にせよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)$(1-i)^{10}$を計算せよ．ただし，$i^2=-1$である．
(5)$\log_{10}2+\log_{10}80-4 \log_{10}2$を簡単にせよ．
私立 安田女子大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{4}{7}-\frac{7}{9} \right) \div \frac{13}{3}$を計算せよ．
(2)不等式$x \cdot |x|<x$を解け．
(3)正四面体の$4$個の頂点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの文字で表すとき，文字の配置方法は何通りあるか求めよ．ただし，正四面体を回転させてすべての文字が一致すれば，同じ配置方法とみなす．
(4)分担可能なある仕事を仕上げるのに，$\mathrm{A}$さんは$3$時間，$\mathrm{B}$さんは$4$時間，$\mathrm{C}$さんは$6$時間かかる．この仕事を$3$人で分担し，同時に行うとすると時間はどれだけかかるか求めよ．
私立 千歳科学技術大学 2013年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\perm{n}{r}=[ ] \times \perm{n-1}{r-1}$が成り立つとき，$[ ]$にあてはまる文字を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(5)$a>0,\ a \neq 1,\ xyz \neq 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\perm{n}{r}=[ ] \times \perm{n-1}{r-1}$が成り立つとき，$[ ]$にあてはまる文字を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(5)$a>0,\ a \neq 1,\ xyz \neq 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．
公立 釧路公立大学 2013年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{L}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$の$6$文字全部を横一列に並べるとき，$\mathrm{L}$が$\mathrm{D}$の左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の間に他の文字が入る場合も含む．
(2)$1$つのサイコロを$3$回続けて投げる．出た目の数を順に$a,\ b,\ c$とし，
\[ X=(a-1)(b-2)(c-3) \]
とする．以下の問に答えよ．
(i) $X=0$となる確率を求めよ．
(ii) $X>0$となる確率を求めよ．
(iii) $X>3$となる確率を求めよ．
(1)$\mathrm{L}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{N}$の$6$文字全部を横一列に並べるとき，$\mathrm{L}$が$\mathrm{D}$の左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，$\mathrm{L}$と$\mathrm{D}$の間に他の文字が入る場合も含む．
(2)$1$つのサイコロを$3$回続けて投げる．出た目の数を順に$a,\ b,\ c$とし，
\[ X=(a-1)(b-2)(c-3) \]
とする．以下の問に答えよ．
(i) $X=0$となる確率を求めよ．
(ii) $X>0$となる確率を求めよ．
(iii) $X>3$となる確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2013年 第2問文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，数字$1,\ 2,\ 3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを$2$枚引いて，図のような列$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$行$1,\ 2,\ 3$とする$3 \times 3$のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）
ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．
(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．
公立 島根県立大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．
(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．