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国立 佐賀大学 2014年 第3問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
国立 佐賀大学 2014年 第1問$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
私立 中京大学 2014年 第2問$\mathrm{Y}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{A}$の$12$文字全部を横$1$列に並べて順列をつくるとき，次の各問に答えよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．
(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{a}$，$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$の$5$文字を$1$列に並べるとき，$\mathrm{a}$が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(2)${10}^{\frac{n}{77}}$が$5$より大きくなる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle \cos x+\cos \left( \frac{\pi}{3}-x \right)$の取りうる値の範囲を答えよ．
(1)$\mathrm{a}$，$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$の$5$文字を$1$列に並べるとき，$\mathrm{a}$が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(2)${10}^{\frac{n}{77}}$が$5$より大きくなる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle \cos x+\cos \left( \frac{\pi}{3}-x \right)$の取りうる値の範囲を答えよ．
私立 桜美林大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．
(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．
公立 宮城大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$から$[キ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．
(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．