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国立 長岡技術科学大学 2016年 第4問自然数$m,\ n$が$m \geqq n$を満たすとする．$\mathrm{a}$という文字が$m$個，$\mathrm{b}$という文字が$n$個あり，それらの合計$m+n$個の文字を$1$列に並べるとき，下の問いに答えなさい．
(1)並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(1)並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
私立 津田塾大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
私立 西南学院大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{b}$の$6$個の文字の中から，$3$個を選んでできる文字の組合せは全部で$[サ]$通りである．また，$3$個を選んで横一列に並べる順列は全部で$[シ][ス]$通りである．
(2)白球$3$個，赤球$2$個，青球$1$個が入った箱がある．
(i) この箱から$3$個を同時に取り出すとき，白球が$2$個，青球が$1$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$であり，$3$個の中に青球が含まれている確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(ii) この箱から同時に取り出した$3$個を袋に入れる．そしてその袋から$1$個を取り出したら，青球であった．このとき，箱から取り出した$3$個が白球$1$個，赤球$1$個，青球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(1)$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{w}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{r}$，$\mathrm{b}$の$6$個の文字の中から，$3$個を選んでできる文字の組合せは全部で$[サ]$通りである．また，$3$個を選んで横一列に並べる順列は全部で$[シ][ス]$通りである．
(2)白球$3$個，赤球$2$個，青球$1$個が入った箱がある．
(i) この箱から$3$個を同時に取り出すとき，白球が$2$個，青球が$1$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$であり，$3$個の中に青球が含まれている確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(ii) この箱から同時に取り出した$3$個を袋に入れる．そしてその袋から$1$個を取り出したら，青球であった．このとき，箱から取り出した$3$個が白球$1$個，赤球$1$個，青球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
公立 札幌医科大学 2016年 第3問$2$種類の文字「$\mathrm{A}$」，「$\mathrm{B}$」を$1$つずつ左から右に書いていく．書かれる文字が$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かは確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で決まるものとする．しかし，次の$2$つのルールにより文字が消去されることがある：
\mon[$1.$] 右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合，その$\mathrm{B}$は確率$\displaystyle \frac{2}{3}$で消去される
\mon[$2.$] 右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合，それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\maruA$と呼ぶ．この状況で，右端の$\mathrm{B}$の右隣に$\mathrm{A}$が書かれる場合，確率$\displaystyle \frac{2}{3}$でその$\mathrm{A}$と$\maruA$より右側のすべての文字が消去される（ただし$\maruA$は消去されない）．
上記$2$つのルールにあてはまらない場合は，消去される文字はないものとする．$n$文字を書いたときに，実際に残っている文字数を$a_n$とする．例えば，$3$文字を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」，「$\mathrm{AA}$」，「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる．
(1)$a_3=2$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ．
\mon[$1.$] 右端の$\mathrm{A}$の右隣に$\mathrm{B}$が書かれる場合，その$\mathrm{B}$は確率$\displaystyle \frac{2}{3}$で消去される
\mon[$2.$] 右端の$\mathrm{B}$の左側に$\mathrm{A}$が$1$つ以上存在する場合，それらのうちでもっとも右にある$\mathrm{A}$を$\maruA$と呼ぶ．この状況で，右端の$\mathrm{B}$の右隣に$\mathrm{A}$が書かれる場合，確率$\displaystyle \frac{2}{3}$でその$\mathrm{A}$と$\maruA$より右側のすべての文字が消去される（ただし$\maruA$は消去されない）．
上記$2$つのルールにあてはまらない場合は，消去される文字はないものとする．$n$文字を書いたときに，実際に残っている文字数を$a_n$とする．例えば，$3$文字を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$の順に書いた場合の結果は「$\mathrm{ABA}$」，「$\mathrm{AA}$」，「$\mathrm{A}$」のいずれかとなる．
(1)$a_3=2$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$a_n=n$となる確率を$n$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$7$個の文字すべてを$1$列に並べる．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
国立 群馬大学 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$7$個の文字すべてを$1$列に並べる．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 東京大学 2015年 第2問どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第4問投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．
コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．