次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．

$1$つの袋に白玉と赤玉が合計で$33$個入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらが同じ色である確率を$p$とする．この袋に入っている白玉の個数を$x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)取り出した$2$個がともに白玉である確率を$x$で表せ．
(2)$p$を$x$で表せ．ただし，$x$の降べきの順に整理せよ．
(3)$\displaystyle p=\frac{23}{44}$のとき，$x$の値を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}$が単位円周上の$y \geqq 0$の部分を動くとき，点$\mathrm{P}$から単位円周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$までの距離の和$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$を$L$とする．以下，$L$の最大値を求める．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$とおき，$L$を$\theta$の式で表すと，


$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-[ア])^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+[イ])^2+\sin^2 \theta}$

$\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{[ウ]} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \right)^2}$


と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき，
\[ L=\left( [カ]+\sqrt{[キ]} \right) \sin \frac{\theta}{[ク]}+\cos \frac{\theta}{[ケ]} \]
となり，適当な実数$\alpha$を用いて
\[ L=\sqrt{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}} \sin \left( \frac{\theta}{[ス]}+\alpha \right) \]
と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{[セ]}+\sqrt{[ソ]}$である．ただし，$[セ]>[ソ]$とする．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．

座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．

(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．

$P(x)$は，$x^5$の係数が1であるような5次式とする．$P(x)$を$x^2-x-6$で割ったときの商を$Q(x)$，$Q(x)$を$x-2$で割ったときの商を$R(x)$とおく．
\[ P(-2)=-10, P(3)=5,\quad Q(2)=Q(-2)=R(-3)=2 \]
であるとき，次の各問に答えよ．

(1)$P(x)$を$x^2-x-6$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$R(x)$を求めよ．
(3)$P(x)$を求め，展開して降べきの順に整理せよ．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．