$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作を$k$回繰り返したとき，記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で，記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$，$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき，$X=5$となる)．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2)$n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3)$k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．

自然数$m,\ n$に対して，$m=qn+r, 0 \leqq r<n$となる整数$q$と$r$をそれぞれ$m$を$n$で割ったときの商と余りという．ここでは$m$を$n$で割ったときの余り$r$を$m\,@\,n$で表すことにする．$a,\ b,\ c$を自然数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．

$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．

\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．


(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．

$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad (1-a_{n+1})(1+2a_n)=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．

(1)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle a_n \geqq \frac{1}{3}$であることを，数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整数を係数とする$n$次方程式
\[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \]
が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．
(2)素数$p$に対して，
\[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \]
を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ．

$1$，$2$，$2$，$3$，$3$，$3$，$4$，$4$，$4$，$4$の$10$個の数字がある．

(1)$10$個の数字のうち$3$個を用いて作られる$3$桁の整数は全部で何個あるか．
(2)$10$個の数字のうち$4$個を用いて作られる$4$桁の整数は全部で何個あるか．

以下の問いに答えよ．

(1)$3^n=k^3+1$をみたす正の整数の組$(k,\ n)$をすべて求めよ．
(2)$3^n=k^2-40$をみたす正の整数の組$(k,\ n)$をすべて求めよ．