次の問いに答えなさい．

(1)正の整数$n$について$\displaystyle \left( x+\frac{1}{x} \right)^n$の展開式に，定数項が含まれるための$n$の条件を求めなさい．
(2)$\displaystyle \left( x+1+\frac{1}{x} \right)^7$の展開式における定数項を求めなさい．

$k$と$l$を実数の定数とし，$x$に関する方程式
\[ x^4-2(k-l)x^2+(k^2+l^2-6k-8l)=0 \quad \cdots\cdots ① \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)方程式$①$で$k=2,\ l=1$としたときの解を求めよ．
(2)方程式$①$が実数解を持たないための必要十分条件を$k$と$l$で表せ．
(3)方程式$①$の異なる実数解の個数が$3$つであるような実数の組$(k,\ l)$を座標平面上に図示せよ．
(4)方程式$①$の異なる実数解の個数がただ$1$つであるような整数の組$(k,\ l)$をすべて求めよ．

座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．

(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」

(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

$k$を正の整数とし，$a_1=k,\ a_{n+1}=2a_n+1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)すべての$n$に対して，$a_{n+4}-a_n$は15で割り切れることを示せ．
(2)$a_{2010}$が15の倍数となる最小の$k$を求めよ．

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件

\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である

を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数全体で定義された関数$f(x)=x-[\,x\,]$について，$-3 \leqq x \leqq 3$での関数のグラフを図示せよ．ただし，$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数$g(x)=(x-[\,x\,])e^{-x}$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_1^n g(x) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数全体で定義された関数$f(x)=x-[\,x\,]$について，$-3 \leqq x \leqq 3$での関数のグラフを図示せよ．ただし，$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す．
(2)実数全体で定義された関数$g(x)=(x-[\,x\,])e^{-x}$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_1^n g(x) \, dx$を求めよ．

$0$以上の整数$a,\ b,\ c,\ d,\ n$について，次の問いに答えよ．

(1)$a+b=n$を満たす$a,\ b$の組$(a,\ b)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=n$を満たす$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．
(3)$a+b+c+d=n$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の組$(a,\ b,\ c,\ d)$は全部で何個あるか，$n$を用いて表せ．

$2 \leqq p < q <r$を満たす整数$p,\ q,\ r$の組で
\[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \geqq 1 \]
となるものをすべて求めよ．