$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)次の文章の[ア]，[イ]，[ウ]を適当な整数で埋めよ．

$2^{10}=[ア]$より$10^{[イ]}<2^{10}<10^{[イ]+1}$であるから，$\displaystyle \frac{[ウ]}{10}<\log_{10}2<\frac{[ウ]+1}{10}$が成り立つ．

(2)$2^{13}$を計算し$2^{13}<10^4$であることを確かめよ．さらに$\log_{10}2<0.308$を示せ．
(3)$2^4 \times 3^8$を計算し$2^4 \times 3^8>10^5$であることを確かめよ．これと(2)を使って$\log_{10}3>0.471$を示せ．
(4)$3^9$を計算し$3^9<2 \times 10^4$であることを確かめよ．さらに，$\log_{10}3<0.479$を示せ．
(5)$3^{100}$は何桁の数であるか．

$n$を3以上の整数とする．1から$n$までの番号を1つずつ重複せずに書いた$n$枚のカードが箱に入っている．この箱から3枚のカードを同時に取り出し，取り出したカードの番号を小さい順に$a,\ b,\ c$とする．$b-a=c-b$が成り立つ確率を$p_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$p_5$を求めよ．
(2)$p_6$を求めよ．
(3)$n$が奇数のとき，$p_n$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$p_n$を求めよ．

$k$を実数とする．$f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1$について以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．

$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

座標平面上に原点O$(0,\ 0)$と点A$(3,\ 0)$がある．自然数$n$に対して，点B$_n(0,\ n)$をとり，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．ただし，$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点という．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)自然数$k$に対して，$n=3k$とする．このとき，$\triangle$AB$_n$Oの境界を除いた内部に含まれる格子点のうち，$x$座標が1であるものの個数を，$k$を用いて表せ．
(3)自然数$k$に対して，$a_{3k}$を，$k$を用いて表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．自然数$m$に対して，$S_{3m}$を，$m$を用いて表せ．

行列$A$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(x+y,\ x-y)$に移る．行列$B$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(2x+y+ax,\ x+2y-ay)$に移る．行列$X$が$AX=B$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)正の整数$n$について$\displaystyle \left( x+\frac{1}{x} \right)^n$の展開式に，定数項が含まれるための$n$の条件を求めなさい．
(2)$\displaystyle \left( x+1+\frac{1}{x} \right)^7$の展開式における定数項を求めなさい．