「整数」について
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国立 東京工業大学 2010年 第2問$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．
(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．
(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 東京工業大学 2010年 第3問1から$n$までの数字がもれなく一つずつ書かれた$n$枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率を$p(n)$とする．
(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．
(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．
国立 東京大学 2010年 第5問$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第1問直角三角形$\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{C}$が直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺$\mathrm{BC}$の長さが3以上の素数$p$であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．
国立 千葉大学 2010年 第5問放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$によって囲まれる領域を
\[ D=\{(x,\ y) \; | \; x^2 \leqq y \leqq ax+b \} \]
とし，$D$の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとする．座標平面上で，$x$座標，$y$座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)$a=0$のとき，$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)$a,\ b$が共に整数であるとき，$D$に含まれる格子点の個数は，$a,\ b$の値によらず一定であることを示せ．
\[ D=\{(x,\ y) \; | \; x^2 \leqq y \leqq ax+b \} \]
とし，$D$の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとする．座標平面上で，$x$座標，$y$座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)$a=0$のとき，$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)$a,\ b$が共に整数であるとき，$D$に含まれる格子点の個数は，$a,\ b$の値によらず一定であることを示せ．
国立 東京大学 2010年 第3問2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を0以上30以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第4問$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第4問$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．
(1)$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x$のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)$a,\ b$は実数で$a \neq 0$とする．$y=ax^2+bx$のグラフ上に，点$(0,\ 0)$以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．
(1)$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x$のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)$a,\ b$は実数で$a \neq 0$とする．$y=ax^2+bx$のグラフ上に，点$(0,\ 0)$以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．
国立 大阪大学 2010年 第5問$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）
国立 岩手大学 2010年 第3問整数$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\begin{eqnarray}
& & a_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n) \} \, dx \nonumber \\
& & b_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1} \} \, dx \nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$a_0,\ b_0$を求めよ．
(2)$c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．
\begin{eqnarray}
& & a_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n) \} \, dx \nonumber \\
& & b_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1} \} \, dx \nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$a_0,\ b_0$を求めよ．
(2)$c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．