$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．

\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．

$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．

すべての正の整数$n$に対して，$3^{3n-2}+5^{3n-1}$が7の倍数であることを証明せよ．

数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．

$\ell,\ m,\ n$を3以上の整数とする．等式
\[ \left( \frac{n}{m} - \frac{n}{2}+1 \right)\ell=2 \]
を満たす$\ell,\ m,\ n$の組をすべて求めよ．

$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを用いて，次の手順で$5$桁の整数をつくる．まず$1$枚を取り出して現れた数字を$1$の位とする．取り出した$1$枚を元に戻し，$4$枚のカードをよく混ぜて，再び$1$枚を取り出して現れた数字を$10$の位とする．このような操作を$5$回繰り返して，$5$桁の整数をつくる．得られた整数を$X$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X$に数字$1$がちょうど$2$回現れる確率を求めよ．
(2)$X$に数字$1$と数字$2$がちょうど$1$回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)$X$にちょうど$2$回現れる数字が$1$種類以上ある確率を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(2)$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(3)$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．
(4)$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．

4で割ると余りが1である自然数全体の集合を$A$とする．すなわち，
\[ A=\{4k+1 \; | \; k\text{は0以上の整数} \} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$および$y$が$A$に属するならば，その積$xy$も$A$に属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$A$に属することを証明せよ．
(3)$m,\ n$を0以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m7^n$は$A$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m7^n$は$A$に属さないことを証明せよ．
(4)$m,\ n$を0以上の整数とする．$3^{2m+1}7^{2n+1}$の正の約数のうち$A$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．