「整数」について
タグ「整数」の検索結果
（92ページ目：全1020問中911問～920問を表示）
公立 岐阜薬科大学 2011年 第5問正$n$角形（$n$は$3$以上の整数）の頂点から重複を許して$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=6$とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を求めよ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(iii) 鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(1)$n=6$とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を求めよ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$で，
(i) 三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．
(ii) 直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(iii) 鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2011年 第2問実数の数列$\{a_n\}_{n=1,\ 2,\ \cdots}$は，任意の正整数$p,\ q$に対して不等式
\[ |a_{p+q|-a_p-a_q}<1 \]
を満たしているとする．
(1)任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式
\[ |a_{kn|-ka_n}<k-1 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数$n,\ k$に対して，不等式
\[ |n a_{n+k|-(n+k)a_n}<2n+k-2 \]
が成り立つことを証明せよ．
\[ |a_{p+q|-a_p-a_q}<1 \]
を満たしているとする．
(1)任意の正整数$n$と，$2$以上の任意の整数$k$に対して，不等式
\[ |a_{kn|-ka_n}<k-1 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)任意の正整数$n,\ k$に対して，不等式
\[ |n a_{n+k|-(n+k)a_n}<2n+k-2 \]
が成り立つことを証明せよ．
公立 奈良県立医科大学 2011年 第1問$0$以上の任意の整数$i$に対して，$x$の$i$次式$g_i(x)$を$i=0$のとき$g_0(x)=1$，$i \geqq 1$のとき$\displaystyle g_i(x)=\frac{x(x+1) \cdots (x+i-1)}{i!}$と定義する．
(1)$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$（但し$a_n \neq 0$）を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とする．このとき，等式$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n c_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような実数$c_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$c_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)$(1)$において，$n>0$のとき等式$\displaystyle f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^n c_i \, g_{i-1}(x)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$F(x) (\neq 0)$を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とし，任意の整数$a$に対して$F(a)$が整数であると仮定する．このとき，等式$\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^n d_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような整数$d_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$d_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$（但し$a_n \neq 0$）を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とする．このとき，等式$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n c_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような実数$c_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$c_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)$(1)$において，$n>0$のとき等式$\displaystyle f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^n c_i \, g_{i-1}(x)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$F(x) (\neq 0)$を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とし，任意の整数$a$に対して$F(a)$が整数であると仮定する．このとき，等式$\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^n d_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような整数$d_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$d_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
公立 福岡女子大学 2011年 第3問箱の中に赤いボールが$m$個，白いボールが$n$個入っており，各ボールには異なる名前が付けられている．次の問に答えなさい．
(1)整数$l$を$1 \leqq l \leqq m+n$とする．箱から異なる$l$個のボールを取り出して並べる順列の総数を求めなさい．
(2)整数$k$を$1 \leqq k \leqq l$とする．$(1)$の順列のうち，先頭からかぞえて$k$番目に赤いボールが来る順列の総数を求めなさい．
(3)$l$人が順番にこの箱からボールを$1$つずつ取り出し，取り出したボールは元に戻さないとする．$k$番目の人が赤いボールを取り出す確率を求めなさい．
(1)整数$l$を$1 \leqq l \leqq m+n$とする．箱から異なる$l$個のボールを取り出して並べる順列の総数を求めなさい．
(2)整数$k$を$1 \leqq k \leqq l$とする．$(1)$の順列のうち，先頭からかぞえて$k$番目に赤いボールが来る順列の総数を求めなさい．
(3)$l$人が順番にこの箱からボールを$1$つずつ取り出し，取り出したボールは元に戻さないとする．$k$番目の人が赤いボールを取り出す確率を求めなさい．
公立 京都府立大学 2011年 第3問$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 釧路公立大学 2011年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$200$から$500$までの整数の集合を$U$とする．次の数を求めよ．
(i) $U$のうち，$5$か$7$のどちらかで割り切れる整数の個数．
(ii) $U$のうち，$5$で割り切れるが，$7$で割り切れない整数の個数．
(iii) $U$のうち，$5$でも$7$でも割り切れない整数の個数．
(2)整数を要素とする$2$つの集合
$A=\{ -3,\ 2,\ a^2-9a+25,\ 2a+3\}$
$B=\{ -2,\ a^2-4a-10,\ a^2-5a+1,\ a+6,\ 16\}$
において，$A \cap B=\{2,\ 7\}$とする．
(i) $A \cup B$を求めよ．
(ii) $\overline{A} \cap B$を求めよ．
(1)$200$から$500$までの整数の集合を$U$とする．次の数を求めよ．
(i) $U$のうち，$5$か$7$のどちらかで割り切れる整数の個数．
(ii) $U$のうち，$5$で割り切れるが，$7$で割り切れない整数の個数．
(iii) $U$のうち，$5$でも$7$でも割り切れない整数の個数．
(2)整数を要素とする$2$つの集合
$A=\{ -3,\ 2,\ a^2-9a+25,\ 2a+3\}$
$B=\{ -2,\ a^2-4a-10,\ a^2-5a+1,\ a+6,\ 16\}$
において，$A \cap B=\{2,\ 7\}$とする．
(i) $A \cup B$を求めよ．
(ii) $\overline{A} \cap B$を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第4問数列$\{a_n\}$は，すべての正の整数$n$に対して$0 \leqq 3a_n \leqq \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$を満たしているとする．このとき，すべての$n$に対して$a_n=0$であることを示せ．
国立 一橋大学 2010年 第4問0以上の整数$a_1,\ a_2$があたえられたとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \]
により定める．
(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$a_{2010}$を10で割った余りを求めよ．
(2)$a_2=3a_1$のとき，$a_{n+4}-a_n$は10の倍数であることを示せ．
\[ a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \]
により定める．
(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$a_{2010}$を10で割った余りを求めよ．
(2)$a_2=3a_1$のとき，$a_{n+4}-a_n$は10の倍数であることを示せ．
国立 京都大学 2010年 第5問次の問に答えよ．
(1)$n$を正の整数，$a=2^n$とする．$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れないことを示せ．
(2)$m$を正の偶数とする．$3^m -1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または$m=4$であることを示せ．
(1)$n$を正の整数，$a=2^n$とする．$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れないことを示せ．
(2)$m$を正の偶数とする．$3^m -1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または$m=4$であることを示せ．
国立 一橋大学 2010年 第1問実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．