実数を成分とする2次正方行列$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
b & 1 \\
0 & b
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
p & q
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数とするとき，$B^n$を求めよ．
(2)$AP = PB$が成り立つように，$b,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めよ．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p=\frac{a}{a+b},\ q =\frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ．
(3)取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について，$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ．
(4)上の期待値$m$について，$m<3$を示せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$

0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]

行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2)$n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \]
で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
\img{562_2720_2011_1}{15}


(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

等式$|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．