空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

次の問いに答えなさい．

(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[　]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[　]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[　]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[　]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[　]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[　]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[　]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，残りの解は$[　]$と$[　]$である．

実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$と表す．例えば，$[1]=1$，$\displaystyle \left[ \frac{5}{2} \right]=2$である．正の整数$n$に対して$\displaystyle a_n=\left[ \frac{2}{3}n \right]$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$から$a_6$までの$6$つの項を求めよ．
(2)正の整数$m$に対して$\displaystyle \sum_{k=3m-2}^{3m}a_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{3n}a_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{3n}ka_k$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[　]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[　]$，$\mathrm{CA}=[　]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．

次の問いに答えなさい．

$1$から$6$までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を振って出た目を$x$，$\mathrm{B}$を振って出た目を$y$，$\mathrm{C}$を振って出た目を$z$とする．

(1)積$xyz$が奇数である確率は$[　]$である．
(2)$(x-y)(y-z)=0$となる確率は$[　]$である．
(3)空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ y,\ z)$に対して，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}=(2,\ -1,\ 0)$が垂直である確率は$[　]$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{q}=(1,\ 2,\ 3)$が平行である確率は$[　]$である．
(4)$\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$が整数となる確率を求めなさい．

放物線$y=x^2$を$C$とし，直線$y=mx+n$を$\ell$とする．$C$と$\ell$は，異なる$2$点$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$で交わっている．ただし，$\alpha<\beta$とする．

(1)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であり，かつ$m \geqq 0$，$n \geqq 0$であるような整数の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

条件$0<a \leqq b$を満たす整数$a,\ b$に対して
\[ f(x)=x(x-a)(x-b)-5 \]
とおく．$f(x)$は$(x-k)(x^2+lx+m)$の形に因数分解されるとする．ただし，$k,\ l,\ m$は整数で，$k>0$である．

(1)$km=[ア]$である．このとき，$k$の値は$[イ]$または$[ウ]$である．ただし，$0<[イ]<[ウ]$とする．
(2)条件を満たすような数の組$(a,\ b,\ k)$は
\[ (\mkakko{エ},\ \mkakko{オ},\ \mkakko{カ}),\quad (\mkakko{キ},\ \mkakko{ク},\ \mkakko{ケ}),\quad (\mkakko{コ},\ \mkakko{サ},\ \mkakko{シ}) \]
である．ただし，$[エ]<[キ]<[コ]$とする．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[　]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[　]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[　]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[　]$であるから，$2^{40}$は$[　]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[　]$，$\displaystyle \frac{[　]+\sqrt{[　]}}{[　]}$である．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p = \frac{a}{a+b},\ q = \frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について，$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ．