$1$と$2$の数字だけを使って$6$桁の整数をつくると，$[　]$通りの整数ができる．そのうち，$121212$よりも小さい整数は$[　]$通りある．

次の各問に答えよ．

(1)$17028$の正の約数は何個あるか．また，$17028$を$2$つの$3$桁の整数の積として表せ．
(2)放物線$y=2x^2+(k-2)x+2k+1$と直線$y=(1-k)x+k+3$がただ$1$つの共有点を持つように$k$の値を定めよ．
(3)実数$x,\ y$が$x-y=x^3-y^3=\sqrt{3}$および$x+y \geqq 0$を満たすとき，$x+y$と$x^3+y^3$の値を求めよ．

正の整数$m,\ n$が次の$2$つの条件を満たしている．
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
n \text{は} m \text{の倍数} \\
\text{等式} \displaystyle\frac{2n}{3}=\frac{n}{m}+1 \text{が成り立つ} \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$(*)$を満たす組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．

次の関係を満たす関数を求めよ．ただし，$n$は$n \geqq 0$である整数とする．

(1)$f_0(x)=\sin x$，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\sin x+\int_0^\pi \frac{2t}{\pi^2} f_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$2$]$である．
(2)$f_0(x)=x+1$，$x^2 f_{n+1}(x)=x^3+\int_0^x tf_n(t) \, dt$を満たす関数は$f_n(x)=[$3$]$である．

整数$k$に対して，曲線$y=4e^{-x}$と$x$軸，および直線$x=k$と$x=k+1$とで囲まれた図形の面積を$S_k$とする．同じく，この図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_k$とする．このとき，$S_k=[$7$]$，$V_k=[$8$]$であり，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$は$[$9$]$に，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$は$[$10$]$に収束する．

次の問いに答えよ．

(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[　]}{[　]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[　]$であり，定数$a$の値の範囲は$[　] \leqq a<[　]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{[　]}$である．

以下の設問に答えよ．

(1)整数$x_1,\ \cdots,\ x_4$に対して，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=14 \\
x_k \geqq 2 (k=1,\ \cdots, 4)
\end{array} \right. \]
となる組$(x_1,\ \cdots, x_4)$の総数を求めよ．
(2)整数$y_1,\ \cdots,\ y_5$に対して，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7 \\
y_k \geqq 0 (k=1,\ \cdots, 5)
\end{array} \right. \]
となる組$(y_1,\ \cdots, y_5)$の総数を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(2a+1)x-3a+1=0$（$a$は定数）の$1$つの解が$x=-1$であるとき，$a=[ア]$であり，他の解は$x=[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i$（ただし，$i^2=-1$）である．
(3)$(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)=x^4-[オ]x^2+[カ]$である．
(4)$2n^2-9n-5 \leqq 0$をみたす整数$n$は全部で$[キ]$個ある．
(5)$10$本のくじのうち$4$本が当たりくじである．この中から，同時に$2$本のくじを引くとき，少なくとも$1$本は当たりくじである確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(6)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ 1)$において，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[コ]$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[サシ]^\circ$である．
(7)$3^n>10000$をみたす最小の整数$n$は$[ス]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^2-2x+3) \, dx=[セソ]$である．