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私立 上智大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．
(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．
(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．
私立 上智大学 2011年 第4問実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．
自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．
(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．
(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．
(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．
(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
私立 関西大学 2011年 第1問関数$f(x)=\log_3(x+1)+\log_9(3-x)$を考える．次の$[ ]$をうめよ．
(1)$f(x)$の定義域は$[$①$]$である．また，整式$g(x)=[$②$]$に対し，$f(x)=\log_9g(x)$となる．
(2)整数$n$に対し$f(n)$の値も整数とする．このとき，$n=[$③$]$であり，$f(n)$の値は$[$④$]$となる．$x$を整数と限らなければ，$f(x)=[$④$]$となるのは，ほかに$x=[$⑤$]$のときがある．
(1)$f(x)$の定義域は$[$①$]$である．また，整式$g(x)=[$②$]$に対し，$f(x)=\log_9g(x)$となる．
(2)整数$n$に対し$f(n)$の値も整数とする．このとき，$n=[$③$]$であり，$f(n)$の値は$[$④$]$となる．$x$を整数と限らなければ，$f(x)=[$④$]$となるのは，ほかに$x=[$⑤$]$のときがある．
私立 関西大学 2011年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$\displaystyle \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$より，
\[ \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$①$]}+\sqrt{[$②$]}}{4} \]
である．ただし，$[$①$]$と$[$②$]$は整数であり，$[$①$]<[$②$]$とする．
(2)$0<\theta<\pi$かつ
\[ \cos \theta=\frac{\sqrt{[$①$]}-\sqrt{[$②$]}}{4} \]
であるとき，$\theta=[$③$]$である．
(3)適当な整数$a,\ b$に対し，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$は$4$次方程式
\[ ax^4+bx^2+1=0 \]
の解となる．このとき，$a=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
(1)$\displaystyle \frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$より，
\[ \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$①$]}+\sqrt{[$②$]}}{4} \]
である．ただし，$[$①$]$と$[$②$]$は整数であり，$[$①$]<[$②$]$とする．
(2)$0<\theta<\pi$かつ
\[ \cos \theta=\frac{\sqrt{[$①$]}-\sqrt{[$②$]}}{4} \]
であるとき，$\theta=[$③$]$である．
(3)適当な整数$a,\ b$に対し，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{12}$は$4$次方程式
\[ ax^4+bx^2+1=0 \]
の解となる．このとき，$a=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
私立 上智大学 2011年 第3問$M$を$2$以上の整数とし，$0$から$M-1$までの各整数を書いたカードが$1$枚ずつ合計$M$枚，箱の中に入っているものとする．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれている数を調べて箱に戻す試行を考える．
この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．
(1)$M=2$のとき，$\displaystyle P_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(2)$M=3$のとき，
\[ P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad P_2=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．また，
\[ P_n=\frac{[ホ]}{[マ]} \left( \frac{[ミ]}{[ム]} \right)^n+\frac{[メ]}{[モ]} \]
である．
(3)$M$が偶数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヤ]}{[ユ]} \]
である．また$M$が奇数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \frac{1}{M} \right)^n+\frac{[リ]}{[ル]} \]
である．
この試行を$n$回行ったとき，箱から取り出した$n$枚のカードに書かれている数の和が偶数である確率を$P_n$で表す．
(1)$M=2$のとき，$\displaystyle P_n=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．
(2)$M=3$のとき，
\[ P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad P_2=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．また，
\[ P_n=\frac{[ホ]}{[マ]} \left( \frac{[ミ]}{[ム]} \right)^n+\frac{[メ]}{[モ]} \]
である．
(3)$M$が偶数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヤ]}{[ユ]} \]
である．また$M$が奇数のとき，
\[ P_n=\frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \frac{1}{M} \right)^n+\frac{[リ]}{[ル]} \]
である．
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．
(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．
(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．
(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
私立 北海道文教大学 2011年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$
(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．
(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．
(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．
(1)$1$以上$200$以下の自然数の中で，$2$または$5$で割り切れる数はいくつありますか．その個数を求めなさい．
(2)次の式を因数分解しなさい．
\[ 3(2x-3)^2-4(2x+1)+12 \]
(3)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-2|>3x \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x^2-y^2$
(ii) $x^3+y^3$
(5)$7$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$から異なる$5$個を取り出して$1$列に並べるとき，次の問いに答えなさい．
(i) $5$桁の整数は全部で何個できるか．その個数を求めなさい．
(ii) $(1)$で求めた$5$桁の整数のうち，奇数は何個できるか．その個数を求めなさい．
(6)$\displaystyle \left( 3x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の展開式における$x^4$の係数を求めなさい．
私立 北海道医療大学 2011年 第2問以下の問に答えよ．
(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[ ]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．
(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．
(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[ ]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．
(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．
私立 北海道医療大学 2011年 第3問二項定理と二項係数を用いて，以下の問に答えよ．ただし，$m$と$n$は正の整数である．
(1)${(x+1)}^m$の展開式における$x^r$の係数を求めよ．ただし，$r$は整数で，$0 \leqq r \leqq m$とする．
(2)${(x^2+1)}^n$の展開式における$x^{2s}$の係数を求めよ．ただし，$s$は整数で，$0 \leqq s \leqq n$とする．
(3)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数を$m$と$n$を用いて表せ．
(4)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数が$30$であるという．
(i) 正の整数$m$および$n$の値を求めよ．
(ii) ${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^5$の係数の値を求めよ．
(1)${(x+1)}^m$の展開式における$x^r$の係数を求めよ．ただし，$r$は整数で，$0 \leqq r \leqq m$とする．
(2)${(x^2+1)}^n$の展開式における$x^{2s}$の係数を求めよ．ただし，$s$は整数で，$0 \leqq s \leqq n$とする．
(3)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数を$m$と$n$を用いて表せ．
(4)$m$を$2$より大きな正の整数，$n$を正の整数とするとき，${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^3$の係数が$30$であるという．
(i) 正の整数$m$および$n$の値を求めよ．
(ii) ${(x+1)}^m{(x^2+1)}^n$の展開式における$x^5$の係数の値を求めよ．