$2$つの整数の平方の和で表される整数の集合を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a,\ b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a,\ b$はともに$3$で割り切れることを示せ．
(2)$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．

整数$a,\ b,\ c$に対して，行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a+c-b
\end{array} \biggr)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)行列$Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
0 & u
\end{array} \biggr)$に対して，
\[ Q^3-Q=\biggl( \begin{array}{cc}
s(s^2-1) & t(s^2+u^2+su-1) \\
0 & u(u^2-1)
\end{array} \biggr) \]
となることを示せ．
(2)整数$x,\ y,\ z$に対して，行列$R=\biggl( \begin{array}{cc}
6x & y \\
0 & 6z
\end{array} \biggr)$をとる．このとき，行列$\displaystyle \frac{1}{6}R^2$の各成分が整数であることを示せ．
(3)$P=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array} \biggr)$とおくとき，$B=PAP^{-1}$を求めよ．さらに，行列$\displaystyle \frac{1}{6}(B^3-B)^2$の各成分が整数であることを示せ．
(4)行列$\displaystyle \frac{1}{6}(A^3-A)^2$の各成分が整数であることを示せ．

$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$の$6$つの数字を重複せずに用いて，$n$桁の整数を作る（$n \leqq 6$）．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=3$，すなわち$3$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$5$にならないような整数はいくつできるか．
(2)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも$3$にならないような整数はいくつできるか．
(3)$n=4$，すなわち$4$桁の整数で，隣り合う数字の和が$5$になる箇所が$2$つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．

以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

(1)$2^{2011}$は何桁の整数か．
(2)$2^{2011}$の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば$729$の場合は$7$を指す．

次の問いに答えよ．

(1)$1365$と$1560$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$以上の整数$x,\ y,\ z$の組で$xyz=1365,\ 3x \leqq 2y \leqq z$を満たすものをすべて求めよ．

座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．

(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

(1)$2^{2011}$は何桁の整数か．
(2)$2^{2011}$の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば$729$の場合は$7$を指す．

次の問いに答えよ．

(1)$1365$と$1560$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$以上の整数$x,\ y,\ z$の組で$xyz=1365,\ 3x \leqq 2y \leqq z$を満たすものをすべて求めよ．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
(2)$f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．