$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b,\ g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．

実数$x$に対して$k \leqq x < k+1$を満たす整数$k$を$[\,x\,]$で表す．たとえば，
\[ [\,2\,] = 2,\quad \left[\,\frac{5}{2}\,\right]=2,\quad [\,-2.1\,]=-3 \]
である．

(1)$n^2-5n+5<0$を満たす整数$n$をすべて求めよ．
(2)$[\,x\,]^2-5[\,x\,]+5<0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(3)$x$は(2)で求めた範囲にあるものとする．$x^2-5[\,x\,]+5=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．

実数$x$に対して$k \leqq x < k+1$を満たす整数$k$を$[\,x\,]$で表す．たとえば，
\[ [\,2\,] = 2,\quad \left[\,\frac{5}{2}\,\right]=2,\quad [\,-2.1\,]=-3 \]
である．

(1)$\displaystyle n^2-n-\frac{5}{4}<0$を満たす整数$n$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle [\,x\,]^2-[\,x\,]-\frac{5}{4}<0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(3)$x$は$(2)$で求めた範囲にあるものとする．$\displaystyle x^2-[\,x\,]-\frac{5}{4}=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right) \]
の表す1次変換を$f$とする．$f$による点P$(1,\ 1)$の像をP$_1$とする．正の整数$n$に対し，P$_n$の$f$による像をP$_{n+1}$とする．P$_n$が点Q$(10,\ 10)$に最も近くなるときの$n$の値を求めよ．

$p,\ q$を2つの正の整数とする．整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え，このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．
(3)$(p,\ p)$パターンの総数を求めよ．

$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」

この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$3n$枚のカードに1から$3n$までの数字が$1$つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．

(1)$3$枚のカードの数字がすべて$3$の倍数である確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードの数字の積が$3$の倍数である確率と$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

自然数$a,\ b$に対して，$a = bq+r,\ 0 \leqq r \leqq b-1$を満たす整数$q,\ r$がただ1組存在する．このとき$q$は$a$を$b$で割った商，$r$は$a$を$b$で割った余りという．自然数$a_0,\ a_1$が与えられたとき，数列$\{a_n\},\ \{q_n\}$は次の性質を満たすものとする．

\mon[(i)] $q_n$は$a_{n-1}$を$a_n$で割った商
\mon[(ii)] $\biggl( \begin{array}{c}
a_n \\
a_{n+1}
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -q_n
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c}
a_{n-1} \\
a_{n}
\end{array} \biggr)$

ただし，$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在すれば，$n>N$に対して$q_n$および$a_{n+1}$は定義しない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_{N+1}=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ．
(2)$a_N=aa_0+ba_1$を満たす整数$a,\ b$が存在することを証明せよ．
(3)$a_N$は$a_0$と$a_1$の最大公約数であることを証明せよ．