整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．

$n$を自然数とする．整数を成分にもつ行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
3 & x \\
y & z
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
は$AB=BA$，$B^2-3B+2E=O$を満たすとする．ただし$x \neq y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a>b>c>d$，$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ．
(2)$B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(3)$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$d=-3$のとき，$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ．

関数$f(x)=mx \cos (mx)-\sin (mx)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$m$は正の整数とする．

(1)$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．
(2)$m=2$のとき，区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,\ y_0)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．

$n$は$2$以上の整数であり，$\displaystyle\frac{1}{2} < a_j < 1\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$であるとき，不等式
\[ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n) > 1- \left( a_1+ \frac{a_2}{2}+ \cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}} \right) \]
が成立することを示せ．

実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．

実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
(3)$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．

$0$以上の整数を$10$進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0$は$0$桁の数と考えることにする．また$n$は正の整数とする．

(1)各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．
(2)各桁の数が$0,\ 1,\ 2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての総和$S_n$をとする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれは，$0.301 < \log_{10}2< 0.302$および$0.477<\log_{10}3<0.478$を用いてもよい．

実数の組$(x,\ y,\ z)$で，どのような整数$l,\ m,\ n$に対しても，等式
\[ l\cdot 10^{x-y}-nx + l\cdot 10^{y-z} + m\cdot 10^{x-z} = 13l+36m+ny \]
が成り立つようなものをすべて求めよ．

$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目を$a_1$，$2$回目に出る目を$a_2$，$3$回目に出る目を$a_3$とし，整数$n$を
\[ n=(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1) \]
と定める．

(1)$n=0$である確率を求めよ．
(2)$|n|=30$である確率を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．