次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$n,\ a_n,\ b_n$を自然数とし，$(2+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3}b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$(2-\sqrt{3})^n=a_n-\sqrt{3}b_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$(2+\sqrt{3})^n$以下の整数のうち最大のものを$pa_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(i) $A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^2,\ A^3,\ A^4$を求めよ．
(iii) 正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

(2)$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$であるとする．2次関数$f(x)=ax^2+bx+c \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を求めよ．

数列$\{a_n\}$の各項$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ a_1=2,\quad \left\{ \begin{array}{ll}
a_n \ \text{が偶数のとき，} & a_{n+1}=a_n+1 \\
a_n \ \text{が奇数のとき，} & a_{n+1}=2a_n
\end{array} \right. \]
により定める．次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の整数とする．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ．
(2)$a_{2k}$を用いて，$a_{2k+2}$を表せ．また，$a_{2k-1}$を用いて，$a_{2k+1}$を表せ．
(3)$a_{2k},\ a_{2k-1}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3a-1 & 9a \\
-a & -3a-1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

$x+y+z=n$（$n$は正の整数）をみたす正の整数の組$(x,\ y,\ z)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n=19$のとき，$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．そのうち，$x,\ y,\ z$のいずれか$2$つが等しい組，$x \leqq y \leqq z$をみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)$n$が$6$の倍数であるとき，$x \leqq y \leqq z$をみたす$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．

$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

条件$(ⅰ)$：$a_1 \geqq 2$
条件$(ⅱ)$：$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n$
条件$(ⅲ)$：$1 \leqq i<j \leqq n$を満たす任意の整数$i,\ j$に対して，不等式
\[ a_i+a_j>0 \]
が成り立つ．

このとき，不等式
\[ \sum_{i=1}^n a_i \geqq n \]
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$をすべて求めよ．

各成分が$0$以下の整数からなる$2$行$2$列の行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
で，$A^2+A=E$を満たすものをすべて求めよ．（ただし，$E$は単位行列を表す．）