行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -2 \\
2 & 8
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．ただし，$P^{-1}$は$P$の逆行列を表す．

(1)$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(2)行列$B$を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，行列$B^n$を$n$を用いて表せ．また，行列$A^n$を$n$を用いて表せ．

$1$から$2012$までの整数のうち，$7$の倍数全体の集合を$A$，$11$の倍数全体の集合を$B$，$13$の倍数全体の集合を$C$とする．集合$X$の要素の個数が有限のとき，その要素の個数を$n(X)$で表すことにする．

(1)$n(A),\ n(B),\ n(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$n(A \cup B),\ n(A \cup C),\ n(B \cup C)$をそれぞれ求めよ．
(3)$n(A \cap (B \cup C)),\ n(A \cup (B \cup C))$をそれぞれ求めよ．

$1$から$2012$までの整数のうち，$7$の倍数全体の集合を$A$，$11$の倍数全体の集合を$B$，$13$の倍数全体の集合を$C$とする．集合$X$の要素の個数が有限のとき，その要素の個数を$n(X)$で表すことにする．

(1)$n(A),\ n(B),\ n(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$n(A \cup B),\ n(A \cup C),\ n(B \cup C)$をそれぞれ求めよ．
(3)$n(A \cap (B \cup C)),\ n(A \cup (B \cup C))$をそれぞれ求めよ．

$n$は$2$以上の整数とする．$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots$，$2n+1$が書かれたカードが$1$枚の全部で$2n+1$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数が，両方とも奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(2)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，偶数である確率を$n$を用いて表せ．
(3)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，$7$以上の奇数である確率を$n$を用いて表せ．

次の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sin 75^\circ+\sin 15^\circ=[ア]$である．
(2)実数$x$に対して，$n+0.3 \leqq x<n+1.3$を満たす整数$n$を用いて$\langle x \rangle =n+1$と定める．このとき$\langle 9.8 \rangle +\langle 10.2 \rangle +\langle 10.4 \rangle$の値は$[イ]$である．
(3)$1$以上$50$以下の整数のうち$5m+7n$（$m,\ n$は$0$以上の整数）と表されるものは全部で$[ウ]$個ある．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入せよ．

(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{n^2}{250},\ \frac{n^3}{256},\ \frac{n^4}{243}$がすべて整数となるような正の整数$n$のうち，最小のものを求めよ．
(2)$90^\circ<x<180^\circ$のとき，不等式$\displaystyle \frac{\sin 5x}{\sin x}<\frac{\cos 5x}{\cos x}$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{n^2}{250},\ \frac{n^3}{256},\ \frac{n^4}{243}$がすべて整数となるような正の整数$n$のうち，最小のものを求めよ．
(2)$90^\circ<x<180^\circ$のとき，不等式$\displaystyle \frac{\sin 5x}{\sin x}<\frac{\cos 5x}{\cos x}$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2(a-\sqrt{3})x-3 \sqrt{3}a+9=0$が$2$つの異なる実数解をもち，$x^2+ax+1=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$[1]<a<[2]$である．
(2)$\displaystyle 0<x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，$\displaystyle 2-\cos^2 x+\frac{1}{4 \sin^2 x}$の最小値は$[3]$であり，そのときの$x$の値は$[4]$である．
(3)$y=|x-1|-|2x-4|$は$x=[5]$のときに最大値$[6]$をとる．
(4)$4^{200}$は$[7]$桁の整数である．また，$3^{-200}$は小数第$[8]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)袋の中に，$3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5$の$9$つの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，この中から$2$個取り出す．このとき，取り出された$2$個の玉に書かれた数の和が$8$となる確率は$[9]$であり，数の和の期待値は$[10]$である．

座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$，点$\mathrm{C}(c,\ 0)$がある．ただし，$b>2$，$c>2$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{OCA}=\alpha$，$\angle \mathrm{OCB}=\beta$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．