$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目，$2$回目，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$として，$3$つの確率変数
\[ Y=4X_1+X_2,\quad Z_1=2X_1+3X_2,\quad Z_2=2X_1+3X_3 \]
を定める．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として，
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\
\displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\}
\end{array} \]
を定める．部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ．
(2)$Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし，$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする．次の問いに答えよ．

(i) $i=1,\ 2$に対し，等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．
(ii) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき，その値を求めよ．

座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．

大小$2$個のさいころを同時に投げる．大きなさいころの出た目の数を小さなさいころの出た目の数で割った値を$X$とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が整数となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4}<X<4$となる確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．

初項を$a_0 \geqq 0$とし、以下の漸化式で定まる数列$\left\{a_n\right\}_{n=0,1,\cdots}$を考える．
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．

(1)$a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3)$m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．

平面上に点$\mathrm{O},\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \cdots,\ \mathrm{A}_{100}$がある．ただし，同じ点があってもよい．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して，
\[ f(P) = \sum_{i=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}_i|^2 \]
とする．また，$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし，平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする．
このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ．
(2)次の条件
\[ (*) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \]
が成立しているときの$m$の値を求めよ．
(3)(2)における条件$(*)$が成立しているとき，集合
\[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \]
の要素の個数の最大値を求めよ．

$a>0$，$a \neq 1$とするとき，次の問に答えよ．

(1)正の実数$x,y$に対して，$\displaystyle\log_a\frac{x+y}{2}$と$\displaystyle\frac{1}{2}(\log_ax+\log_ay)$の大小関係を調べよ．
(2)実数$x,y$に対して，$\log_a(x+y)=\log_ax+\log_ay$が成り立つとき，$\displaystyle\frac{1}{x}$および$\displaystyle\frac{1}{y}$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$において，$k=2x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$\log_a(x+y)=\log_ax+\log_ay$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．