$n$を$2$以上の整数とし，袋の中に，白玉が$5$個，赤玉が$n$個入っているとする．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉$1$個ずつである確率を$p_n$とし，また，取り出した白玉の数を$X$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p_n$を求めよ．
(2)$p_n$が最大になる$n$の値と，そのときの$p_n$の値を求めよ．
(3)$X$の期待値が$0.625$になるとき，$n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1,\ a_3=5,\ a_5=41$である．また，ある定数$s,\ t$について
\[ a_{n+1}=sa_n+t \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{a_k}a_k$を$n$の式で表せ．

数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1,\ a_3=5,\ a_5=41$である．また，ある定数$s,\ t$について
\[ a_{n+1}=sa_n+t \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．さらに$a_{3n-2}$は$a_n$で割り切れることを示せ．
(3)$a_{n+1}$を$a_n$で割った余りを$b_n$とする．2以上の正の整数$m$に対して，次の和を求めよ．
\[ \sum_{k=2}^m \frac{a_k+b_k}{b_kb_{k+1}} \]

正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ n \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right)<2,\quad 2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1) \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right) \]
を満たし，かつ$a_2=2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_3$を求めよ．
(3)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ．

$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

正の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left( \frac{x^{2k-1}}{2k-1} +\frac{x^{2k}}{2k} \right)$を考える．

(1)導関数$f_n^\prime(x)$を求めよ．ただし和の記号$\displaystyle \sum$を用いずに表せ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(1)$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．原点を$\mathrm{O}$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ．
(2)2以上の整数$n$で，直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ．
(3)$i$を虚数単位とする．0でない整数$n$に対して，実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める．このとき次の等式
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & -b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする．

実数$x,\ y$が連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
10^{10}<2^x3^y<10^{11} & \cdots\cdots (\mathrm{A}) \\
10^9<3^x2^y<10^{10} & \cdots\cdots (\mathrm{B})
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす実数$x,\ y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす整数$x,\ y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x,\ y$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$として計算してよい．

次の条件をみたす2次正方行列$A,\ B$を考える．
\[ AB=-E,\quad A-B=E \quad (E \text{は単位行列}) \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A^2-A$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．
(5)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1
\end{array} \right)$となるとき，$A$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \]
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \]
を示せ．
(3)$0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し，
\[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \]
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．