「整数」について
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国立 鳥取大学 2012年 第2問$a,\ b,\ c$を正の整数とするとき，等式
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．
\[ \left( 1+\frac{1}{a} \right) \left( 1+\frac{1}{b} \right) \left( 1+\frac{1}{c} \right)=2 \cdots (*) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$c=1$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a,\ b$は存在しないことを示せ．
(2)$c=2$のとき，等式$(*)$を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a \geqq b$を満たすものをすべて求めよ．
(3)等式$(*)$を満たす正の整数の組$(a,\ b,\ c)$で$a \geqq b \geqq c$を満たすものをすべて求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
このとき，$\biggl( \begin{array}{c}
p_3 \\
q_3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
このとき，$\biggl( \begin{array}{c}
p_3 \\
q_3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$について，
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7 \]
の最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a$を負の実数とする．
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a \]
を満たす$x,\ y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$について，
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7 \]
の最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a$を負の実数とする．
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a \]
を満たす$x,\ y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 三重大学 2012年 第1問実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．