「整数」について
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国立 東京工業大学 2012年 第4問$n$を正の整数とする．数列$\{a_k\}$を
\[ a_1 = \frac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1} = -\frac{1}{k +n+1}+\frac{n}{k} \sum_{i=1}^k a_i \quad (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)$a_2$および$a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_k$を求めよ．
(3)$b_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \log 2$を示せ．
\[ a_1 = \frac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1} = -\frac{1}{k +n+1}+\frac{n}{k} \sum_{i=1}^k a_i \quad (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)$a_2$および$a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_k$を求めよ．
(3)$b_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \log 2$を示せ．
国立 防衛医科大学校 2012年 第1問以下の問に答えよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2012年 第4問$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．
(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$k$を整数とするとき，$x$の方程式$x^2-k^2=12$が整数解をもつような$k$の値をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$が少なくとも1つ整数解をもつような整数$a$の値とそのときの整数解をすべて求めよ．
(1)$k$を整数とするとき，$x$の方程式$x^2-k^2=12$が整数解をもつような$k$の値をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$が少なくとも1つ整数解をもつような整数$a$の値とそのときの整数解をすべて求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$k$を整数とするとき，$x$の方程式$x^2-k^2=12$が整数解をもつような$k$の値をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$が少なくとも1つ整数解をもつような整数$a$の値とそのときの整数解をすべて求めよ．
(1)$k$を整数とするとき，$x$の方程式$x^2-k^2=12$が整数解をもつような$k$の値をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$が少なくとも1つ整数解をもつような整数$a$の値とそのときの整数解をすべて求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第8問すべての項が整数である数列を整数列という．$p,\ q,\ r,\ s$を実数とし，正の整数$n$に対し
\[ a_n=p+qn+rn^2,\quad b_n=p+qn+rn^2+sn^3 \]
とおく．このとき以下の命題を示せ．
(1)数列$\{a_n\}$が整数列ならば，$2r$は整数である．
(2)数列$\{b_n\}$が整数列であるための必要十分条件は，$p$と$q+r+s$と$2r$と$6s$がいずれも整数となることである．
\[ a_n=p+qn+rn^2,\quad b_n=p+qn+rn^2+sn^3 \]
とおく．このとき以下の命題を示せ．
(1)数列$\{a_n\}$が整数列ならば，$2r$は整数である．
(2)数列$\{b_n\}$が整数列であるための必要十分条件は，$p$と$q+r+s$と$2r$と$6s$がいずれも整数となることである．
国立 千葉大学 2012年 第12問$\ell,\ n,\ d$を自然数とする．このとき自然数の積$(2\ell +1)nd$は，ある自然数$a$と$2$以上の整数$m$を用いて
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．
国立 奈良女子大学 2012年 第3問$a$と$b$は異なる整数で，ともに$0$以上$9$以下とする．有理数$x$が次のように循環小数で表されているとする．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
\[ x=0.abababab \cdots \]
次の問いに答えよ．
(1)$99x$は自然数であることを示せ．
(2)$33x$が自然数となるような$x$を$1$つ求めよ．
(3)$11x$が自然数となるときの$a+b$の値を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第2問$n$を自然数とし，3つの不等式$\displaystyle y \leqq -\frac{x}{n}+2,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$をすべてみたす整数の組$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とする．このとき，$S_n=510$となる$n$を求めよ．
国立 佐賀大学 2012年 第2問$0$以上の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}$とおく．ただし，$0!=1$とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ．
(1)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ．