$p,\ q$を互いに素な$2$以上の整数，$m,\ n$は$m < n$なる正の整数とする．このとき，分母が$p^2q^2$で，分子が$p$でも$q$でも割り切れない分数のうち，$m$よりも大きく$n$よりも小さいものの総数を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$k$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．
(2)$n$を$0$以上の整数とするとき，
\[ \displaystyle \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + z \leqq k \]
を満たす$0$以上の整数$x,\ y,\ z$の組$(x,\ y,\ z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．

(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．

$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数から連続する$2$つの整数$x,\ x+1$を取り除く．次の問いに答えよ．

(1)$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が$\displaystyle \frac{42}{5}$であったとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．
(2)$n \geqq 39$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2}n(n+1) -1 -2(n-1) > \frac{205}{11}(n-2) \]
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が$\displaystyle \frac{205}{11}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．

$p$と$q$はともに整数であるとする．2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち，条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．