次の各問に答えよ．

(1)$2$つの曲線$y=x^4$と$y=x^2+2$とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚の札の組が$2$つある．これら$2n$枚の札をよく混ぜ合わせて，札を$1$枚ずつ$3$回取り出し，取り出した順にその番号を$X_1,\ X_2,\ X_3$とする．$X_1<X_2<X_3$となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

$1$つの角が$120^\circ$の三角形がある．この三角形の$3$辺の長さ$x,\ y,\ z$は$x<y<z$を満たす整数である．

(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．

$f_0(x)=xe^x$として，正の整数$n$に対して，
\[ f_n(x) = \int_{-x}^{x} f_{n-1}(t)\, dt + f^{\; \prime}_{n-1}(x) \]
により実数$x$の関数$f_n(x)$を定める．

(1)$f_1(x)$を求めよ．
(2)$g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x (at+b)e^t \, dt$とするとき，定積分$\displaystyle \int_{-c}^c g(x)\, dx$を求めよ．ただし，実数$a,\ b,\ c$は定数とする．
(3)正の整数$n$に対して，$f_{2n}(x)$を求めよ．

$m,\ p$を3以上の奇数とし，$m$は$p$で割り切れないとする．

(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．
(2)$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$(p-1)^m+1$は$p^2$で割り切れないことを示せ．
(4)$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

正$n$角形の頂点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{A}_1$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$とする．頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$から$2$点をとり，それらと$\mathrm{A}_0$を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数を$a_n$，そのうちの二等辺三角形の総数を$b_n$とする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a_6$および$b_6$を求めよ．
(2)整数$m \geqq 3$に対し，$S=\displaystyle\sum_{k=3}^m a_k$を求めよ．
(3)$b_9$を求めよ．

$m$を正の奇数とする．

(1)$(x-1)^{101}$の展開式における$x^2$の項の係数を求めよ．
(2)$p$を正の整数とするとき，$(p-1)^m+1$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$r$を正の整数とし，$s=3^{r-1}m$とする．$2^s+1$は$3^r$で割り切れることを示せ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標の値$x$と$y$がともに整数であるとき，点$\mathrm{P}$を平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)不等式$|x|+|y|<3$の表す領域$A$を図示しなさい．また，領域$A$内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式$x^2+y \leqq 2$の表す領域$B$を図示しなさい．また，領域$B$内の格子点の個数を求めなさい．
(3)$2$つの不等式$x^2 \leqq a^2,\ y^2 \leqq a^2$の表す領域を$C$とする．領域$A$内の格子点全体から領域$B$内のすべての格子点を除いた集合を$D$とする．領域$C$と集合$D$との共通部分が空集合となる$a$の条件を求めなさい．