$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 1)$である確率を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,\ n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

$a,\ b$は$a<b$を満たす実数とする．正の整数$n$に対し，座標平面上の$(2^n+1)$個の点
\[ \mathrm{P}_k \left( a+\frac{k(b-a)}{2^n},\ \left\{ a+\frac{k(b-a)}{2^n} \right\}^2 \right) \quad \left( k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2^n \right) \]
を考える．$X_n$を$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{2^n}$，$\mathrm{P}_0$をこの順に結んで得られる$(2^n+1)$角形とし，$X_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$S_1$を求めなさい．
(2)$S_2-S_1$，$S_3-S_2$を求めなさい．
(3)$S_n$を求めなさい．

$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．

$A,\ B,\ P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a_1 & 0 \\
0 & a_2
\end{array} \right)$，$P^{-1}BP=\left( \begin{array}{cc}
b_1 & b_2 \\
b_3 & b_4
\end{array} \right)$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
c & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3)$A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$

(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．

以下の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$の解が$1<x<2$となるような定数$a$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$と$3x^2+2x-1>0$を同時に満たす整数$x$がただ$1$つ存在するように，定数$a$の範囲を求めよ．

不等式$|\log_5x|+\log_5y \leqq 1$の表す座標平面上の領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$に含まれる点のうち，$x$座標と$y$座標がともに整数となるものは全部でいくつあるか答えよ．

箱の中に，赤，青，黄，白，黒の$5$種類の色のボールがそれぞれ$2$個ずつ入っており，全部で$10$個ある．$10$個のボールには異なる番号が付けられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．

(1)同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．

次の空欄$[タ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる．
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる．
(3)整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し，その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である．

$m$を整数として，二次関数$f(x)=x^2+mx+3$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$の解がすべて整数となる$2$個の$m$の値$m_1,\ m_2$を求めよ．
(2)$g(x)=\min (x^2+m_1x+3,\ x^2+m_2x+3)$としたとき，$x$軸と曲線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\min (a,\ b)$は$a,\ b$のうち大きくない方の値を表す．