次の問に答えよ．

(1)実数$x$が$4^x+4^{-x}=7$をみたすとき，$8^x+8^{-x}$の値を求めよ．
(2)整数$x$の$1$桁目を四捨五入した値を$\langle x \rangle$と表す．例えば，$\langle 4 \rangle=0$，$\langle 5 \rangle=10$，$\langle 11 \rangle=10$である．サイコロを$2$回投げたとき，$1$回目に出る目の数を$x$，$2$回目に出る目の数を$y$とする．$\langle x+y \rangle=\langle x \rangle+\langle y \rangle$となる確率を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．

次の条件を満たしている正の整数$a,\ b$，正の奇数$c$の組$(a,\ b,\ c)$を考える．
\[ 2^a=(4b-c)(b+c) \]
次の設問に答えよ．

(1)$b=13$のとき，$a,\ c$の値を求めよ．
(2)$a \leqq 2013$である組$(a,\ b,\ c)$の個数を求めよ．

複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．

(1)${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2)すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3)どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4)$z^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．

弓道部の$\mathrm{A}$君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率を$a (0<a<1)$とする．$n$を自然数とし，$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$\mathrm{A}$君が矢を$n$回射るとき，ちょうど$m$回命中する確率を$p(m,\ n)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$p(1,\ 3)$を$a$の式で表せ．
(2)$p(7,\ 9)$を$a$の式で表せ．
(3)ある自然数$x,\ y (x \leqq y)$について$p(x-1,\ y)=p(x,\ y)$であるとき，$a$の値を$x,\ y$の式で表せ．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

$1$から$8$までの各数字が$1$枚に$1$つずつ記入された$8$枚のカードがある．$7$枚を選んで左から順に並べて$7$桁の整数を作るとき，

(1)その整数が$3$の倍数になる場合は何通りか．
(2)その整数が$15$の倍数になる場合は何通りか．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の$2$次方程式を解きなさい．解の分母は有理化しなさい．
\[ (1+\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+1=0 \]
(2)$\alpha$と$\beta$は$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の共有点の$x$座標であり，$\alpha<-1$と$0<\beta<1$を満たしているものとする．このとき次の式の符号を求め，その理由も示しなさい．ただし，$a<0$とする．
\[ \nagamaruichi -\frac{b}{2a} \qquad \nagamaruni b \qquad \nagamarusan c \qquad \nagamarushi b^2-4ac \qquad \nagamarugo a-b+c \qquad \nagamaruroku a+b+c \]
(3)高さ$5$メートルの像がある．これと同じ材質を用いて，像と相似形で高さ$10$センチメートルのミニチュアを作るとする．このとき次の問いに答えなさい．ただし，像もミニチュアも均質で，中に空洞はないものとする．

(i) もとの像とこのミニチュアの相似比を，最も簡単な整数の比として求めなさい．
(ii) もとの像と同じ体積の材料から何個のミニチュアを作ることができるか．ただし，材料は余すところなくすべて使えるものとする．
(iii) $(ⅱ)$でできたミニチュアすべての表面積の合計はもとの像の表面積の何倍か．

実数$a$に対して$n \leqq a<n+1$を満たす整数$n$を記号$[a]$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$[-3.1]$を求めよ．
(2)$[\sqrt{800}]=10x$となる$x$を求めよ．
(3)$[19x-1]=10x$となる$x$を求めよ．
(4)$[x^2+6x-4]=10x$となるすべての$x$を求めよ．