次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x+y=6,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$のとき，$(x-2)(y-2)=[ア]$であり，$x^2+y^2=[イ]$である．
(2)$32$の正の約数の数は$[ウ]$個，$288$の正の約数の数は$[エ]$個である．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{2} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\sin 2\theta=[オ]$であり，$\sin 4\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とするとき，$2^{50}$は$[キ]$桁，$3^{80}$は$[ク]$桁の整数である．

第$2$項が$\displaystyle \frac{3}{4}$，第$5$項が$48$であるような等比数列の一般項を求めると$a_n=[　]$である．また，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$16S_n+1 \geqq 10000$となる最小の整数$n$を求めると$n=[　]$である．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$[アイ]$個ある．
(2)有理数$m$と$n$について，$\displaystyle (2 \sqrt{2}+3)m+(5 \sqrt{2}-1)n=\frac{1}{3 \sqrt{2}-2}$が成立するとき，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}$，$\displaystyle n=\frac{[ク]}{[オカキ]}$である．
(3)$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm ([ケ]+[コ]i)$である．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)$2x^2+5xy-3y^2-3x+5y-2$を因数分解すると$[ア]$であり， \\
$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解すると$[イ]$である．
(2)$1$から$100$までの整数のうち，$2$の倍数全体の集合を$A$，$3$の倍数全体の集合を$B$，$5$の倍数全体の集合を$C$とする．$A \cup B$の要素の個数は$[ウ]$であり，$(A \cup B) \cap C$の要素の個数は$[エ]$である．
(3)不等式$3^{2x+1}+2 \cdot 3^x>1$を満たす$x$の値の範囲は$[オ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$[カ]$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$は$1$点で交わる．

$1 \leqq p<q \leqq 6$を満たす整数$p$と$q$がある．$2$つのサイコロを同時に振り，出た目のうちで$p$または$q$に等しい目の合計を得点とする．例えば，$p$の目が$2$つ出たときは，得点は$2p$である．$p$の目も$q$の目も出なければ，得点は$0$である．

(1)得点が$0$となる確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．

さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$2012$年の$1$年間にある県を訪れた観光客の数は，前年$1$年間に比べて$8 \; \%$増加したという．今後も同じ割合で観光客の数が増えていくとした場合，初めて観光客の数が$2012$年の$2$倍以上になるのは何年後か．答えを整数で求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)下の図のような道がある．地点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを投げて$5$以上の目が出れば上に$1$区画進み，$4$以下の目が出れば右に$1$区画進むことにする．ただし，進む道がないときは動かない．さいころを$7$回投げるとき，次の確率を求めよ．

(i) 地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
(ii) 地点$\mathrm{C}$を経由して地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$個の数字を用いて$3$けたの整数をつくるとき，$300$以上の整数は$[][]$個できる．
(2)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$8$以上になる確率は$\displaystyle \frac{[][]}{12}$である．
(3)第$2$項が$10$，第$7$項が$320$である等比数列がある．この数列の公比は$[][]$であり，第$5$項は$[][]$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(\sqrt{6}-\sqrt{2},\ \sqrt{6}+\sqrt{2})$，$\overrightarrow{b}=(\sqrt{3},\ 1)$のなす角は$[][]^\circ$である．