関数$y=f(x)$の定義域は$x \geqq 1$であり，すべての正の整数$n$に対し，

$n \leqq x<n+1$のとき，$f(x)=(-1)^n (x^2-5x)$

が成り立っている．

(1)関数$y=-x^2+5x (1 \leqq x<2)$の値域を求めよ．
(2)$f(a)=-4$であるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$1 \leqq x<6$における関数$y=f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$3^{x+1} \leqq 11+4 \times 3^{-x}$を解け．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$の$n$乗が$n$桁の数となるような$n$の値をすべて求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．

$7$個の数字$1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$をすべて用いて$7$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)全部で何個できるか．
(2)これらの整数を小さい順に並べるとき，$3211231$は何番目に現れるか．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$x$の整式$x^3+3mx^2+2(m^2-1)x-4$が$(x+2)^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=[ア]$であり，商は$[イ]$である．

(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
x+1 & 2 \\
-5 & y-2
\end{array} \right)$がある．$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ウ]$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a$，第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=[オ]$である．この$b$に対して，初項が$1$，第$2$項が$a$，第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=[カ]$である．
(4)曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\ \log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=[キ]$である．また，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$S=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$[ケ]$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,\ 1)$となる確率は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．

次の各問に答えよ．

(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．

(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．

(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

自然数を$1$からはじめて順次$1$個おき，$2$個おき，$4$個おき，$\cdots$，$2^m$個おき，$\cdots$（$m$は$0$以上の整数）にとって作った数列$1,\ 3,\ 6,\ 11,\ 20,\ \cdots$について以下の各問に答えよ．

(1)第$10$項の値を求めよ．
(2)第$n$項を$n$の式で表せ．
(3)第$1$項から第$n$項までの和を$n$の式で表せ．