正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに動くとする．$n$を正の整数として，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{A}$に戻る経路の数を$\alpha_n$，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{B}$に到達する経路の数を$\beta_n$とする．このとき，$\mathrm{A}$から出発して$n$秒後に$\mathrm{C}$に到達する経路の数も，$\mathrm{D}$に到達する経路の数も$\beta_n$となる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし$\alpha_0=1$，$\beta_0=0$とする．

(1)$\alpha_2,\ \beta_2,\ \alpha_2+3 \beta_2,\ \alpha_3,\ \beta_3,\ \alpha_3+3 \beta_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$に対し$\alpha_n,\ \beta_n$を$\alpha_{n-1},\ \beta_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=\alpha_n-\beta_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4)$\alpha_n$の一般項を求めよ．

正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}$にある確率を$p_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$q_n$とする．このとき，$n$秒後に$\mathrm{C}$にある確率も，$\mathrm{D}$にある確率も$q_n$となる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．

(1)$n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．
(2)$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(3)$p_n$の一般項を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる．また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．
(2)すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ．
(3)$X^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．
(4)$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．

自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．

(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$X_5$と$Y_5$の共通部分$X_5 \cap Y_5$の点の個数を求めよ．

自然数$n$について，$0$以上$n$以下の整数$x,\ y$を座標にもつ点$(x,\ y)$全体の集合を$X_n$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$の表す一次変換による$X_n$の点の像全体の集合を$Y_n$とする．$X_n$と$Y_n$の共通部分$X_n \cap Y_n$の点の個数を$a_n$とする．

(1)点$(187,\ 110)$は$Y_{100}$に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)$a_5$を求めよ．
(3)自然数$m$について，$a_{6m}$を$m$を用いて表せ．

さいころの目によって$x$軸上を移動する点$\mathrm{Q}$を考える．さいころを$1$回投げて$5$または$6$の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を正の向きに$1$だけ移動し，その他の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を負の向きに$1$だけ移動する．最初，$\mathrm{Q}$は$x$軸上の原点にあり，さいころを$n$回投げて$\mathrm{Q}$が$n$回移動したときの$\mathrm{Q}$の$x$座標を$X_n$とおく．整数$k$に対し，$X_n=k$となる確率を$p(n,\ k)$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)$p(3,\ 3)$，$p(3,\ 2)$，$p(3,\ 1)$，$p(3,\ 0)$の値を求めよ．
(2)$X_3$の期待値$E$を求めよ．
(3)$p(n,\ 0)$を$n$を用いて表せ．

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい．
(2)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]

正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．

実数$a$に対し，行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める．

(1)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を考える．ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく．このとき
\[ l_0 \leqq l_1 \]
を示せ．ただしベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである．
(2)(1)で$l_0=l_1$となるとき，$X(a) \left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$a,\ b$が異なる実数のとき，${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ．

$a,\ b$を$\displaystyle a^2+\frac{b^2}{6}=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 \sqrt{2}a & b \\
-b & -\sqrt{2}a
\end{array} \right)$に対して，以下の問に答えよ．

(1)実数$p,\ q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，$p,\ q$を$a$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(-1)^kA^k$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とし，$m$を正の整数とする．$x$と$y$についての方程式$A^m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-x \\
0
\end{array} \right)$が$x=y=0$以外の解をもつとき，$m$の満たす条件を求めよ．