行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2)$D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3)$X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．

「$n \leqq \sqrt{11}<n+1$が成り立つような整数$n$を見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．

[答案]
まず，${\sqrt{11}}^2=11$から奇数を小さい順に引いていく．つまり，
\[ 11-1=10,\quad 10-3=7,\quad 7-5=2 \]
となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を$3$回引いたので，$n=3$となる．

三角関数の加法定理を用いると
\[ \begin{array}{l}
\cos 2\theta=2 \cos^2 \theta-1,\quad \sin 2\theta=2 \sin \theta \cos \theta \\
\cos 3\theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta,\quad \sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta
\end{array} \]
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)加法定理と上の公式を利用して，$\cos 5\theta=16 \cos^5 \theta-20 \cos^3 \theta+5 \cos \theta$を導け．
(2)$\displaystyle x=\cos \frac{2\pi}{5}$とおくと，(1)より$16x^5-20x^3+5x-1=0$となる．この左辺を因数分解すると$(x-1)(ax^2+bx+c)^2$となる．整数$a,\ b,\ c$を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．

$p,\ q$を整数とし，$p>0$とする．数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=36,\quad a_{n+1}=a_n+2pn+q \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．

(1)$a_n$を$p,\ q,\ n$を用いて表せ．
(2)$a_4>0$かつ$a_5<0$とする．このとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$a_n<0$を満たす$n$の値をすべて求めよ．

数直線上の動点$\mathrm{P}$はさいころを投げて偶数が出れば$+1$，奇数が出れば$-1$移動する．$\mathrm{P}$の最初の位置（座標）を$\mathrm{P}_0=0$とし，さいころを$k$回投げたときの$\mathrm{P}$の位置（座標）を順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_4=2$となる確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げたとき，$\mathrm{P}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は$-8 \leqq n \leqq 8$をみたす整数である．
(3)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_4$が$0$以上となる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3$の期待値を求めよ．

正の整数$n,\ p,\ q$について，等式
\[ (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n-1}=a_n \sqrt{p}+b_n \sqrt{q} \]
を考える．

(1)ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ．
(2)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ．
(3)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ．

$n$を正の整数とする．袋の中に，$1$から$4n$までの数字が$1$つずつ書かれた$4n$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを$1$枚ずつ$2$回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された$2$枚のカードに書かれた数字の和が$6n$以下となる確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．

$a,\ d$を正の整数とする．$x_1=a,\ x_2=a+d,\ x_3=a+2d,\ x_4=a+3d$とおく．$x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$がすべて素数であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$は奇数であることを示せ．また，$d$は偶数であることを示せ．
(2)$d$は$3$の倍数であることを示せ．
(3)$x_3=67$であるとき，$a,\ d$の値を求めよ．

正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率を，それぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n,\ s_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)$n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．
(3)$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4)$p_n$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=a_2=a_3=1,\quad a_{n+3}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_{n+1} \leqq a_{n+2} \leqq 2a_n$を示せ．
(2)$a_n \leqq \sqrt{2^n}$を示せ．
さらに，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & a_n \ \text{が偶数のとき} \\
1 & a_n \ \text{が奇数のとき}
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．また，自然数$k$に対して，条件
\[ p_k \ \text{：すべての自然数} \ n \ \text{について} \ b_{n+k}=b_n \ \text{が成り立つ} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(3)条件$p_k$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．
(4)$p,\ q,\ r$を整数とし，数列$\{a_n\}$の$a_1,\ a_2,\ a_3$を$a_1=p,\ a_2=q,\ a_3=r$に置き換え，数列$\{b_n\}$もそれにあわせて置き換える．$p,\ q,\ r$をどのように選んでも，条件$p_k$を満たす自然数$k$が存在することを示せ．