「整数」について
タグ「整数」の検索結果
（54ページ目：全1020問中531問～540問を表示）
国立 千葉大学 2013年 第9問$m^4+14m^2$が$2m+1$の整数倍となるような整数$m$をすべて求めよ．
国立 東京工業大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．
国立 東京工業大学 2013年 第4問正の整数$n$に対し，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において$\sin 4nx \geqq \sin x$を満たす$x$の区間の長さの総和を$S_n$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第5問次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．
(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．
以下の問いに答えよ．
(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
国立 愛知教育大学 2013年 第3問$n$を正の整数とし，整式$P(x)=x^{3n}+(3n-2)x^{2n}+(2n-3)x^n-n^2$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$P(x)$を$x^2-1$で割った余りを求めよ．
(2)$P(x)$が$x^2-1$で割り切れるような$n$の値をすべて求めよ．
(1)$P(x)$を$x^2-1$で割った余りを求めよ．
(2)$P(x)$が$x^2-1$で割り切れるような$n$の値をすべて求めよ．
国立 山梨大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2013年 第5問$5^{2n-1}+7^{2n-1}+(23)^{2n-1}$がすべての正の整数$n$について$35$で割り切れることを証明せよ．
国立 秋田大学 2013年 第2問$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．
国立 徳島大学 2013年 第5問次の問いに答えよ．
(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
国立 香川大学 2013年 第3問座標平面上の点$(x,\ y)$は，$x,\ y$がともに整数のとき格子点 \\
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．
という．原点$(0,\ 0)$に番号$1$をふり，以下$(1,\ 0)$に番号$2$， \\
$(1,\ 1)$に番号$3$と，各格子点に図のように反時計まわりに番 \\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665_2850_2013_1}{30}
(1)$n$が自然数のとき，格子点$(n,\ -n)$にふられる番号を$n$の \\
式で表せ．
(2)$n$が自然数のとき，格子点$(n+1,\ n+1)$にふられる番号を$n$の式で表せ．
(3)番号$1000$がふられる格子点の座標を求めよ．