$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}

(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が3以上の素数のとき，$S_k(p-1) \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2)$は$p$の倍数であることを示せ．

関数$f(x)=\log_2 (x+1)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$0$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle f(x)=\frac{k}{2}(f(1)-f(0))$を満たす$x$を$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$x$を$x_k$とおく．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k(x_k-x_{k-1})$を$n$を用いて表せ．

正の整数$n$に対して$a_n=\sqrt{1+n^2}-n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{2n+1}<a_n<\frac{1}{2n}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$a_n<0.03$となる最小の正の整数$n$を求めよ．

座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

実数$x,\ y,\ t$に対して，行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
-t-x & -x
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rr}
5 & 4 \\
-6 & -5
\end{array} \right) \]
を考える．$(AB)^2$が対角行列，すなわち$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列であるとする．

(1)命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする．ただし，$E$は単位行列を表す．
(2)$3x-3y-2t=0$を示せ．
(3)$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(4)$x,\ y,\ t$が整数のとき，行列$A$を求めよ．

$a,\ b$を正の整数とする．このとき，関数
\[ y=|x^2-ax+\displaystyle\frac{a^2|{2}-5} \]
のグラフと直線$y=b$との共有点を考える．

(1)共有点が$3$個になるような$(a,\ b)$の組をすべて求めよ．
(2)共有点が$1$個になるような$(a,\ b)$の組のうち，$b$が最小になるものを求めよ．

$a,\ b$を$100$以下の正の整数とする．$2$つの分数$\displaystyle \frac{a}{27},\ \frac{31}{b}$がどちらも既約分数であり，かつ，和$\displaystyle \frac{a}{27}+\frac{31}{b}$が整数であるとする．このような$(a,\ b)$の組をすべて求めよ．

整数$p,\ q \ (p \geqq q \geqq 0)$に対して$2$項係数を$\displaystyle \comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}$と定める．なお$0!=1$とする．

(1)$n,\ k$が$0$以上の整数のとき，
\[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \]
を計算し，$n$によらない値になることを示せ．
(2)$m$が$3$以上の整数のとき，和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ．