「整数」について
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国立 京都大学 2013年 第3問$n$を自然数とし，整式$x^n$を整式$x^2-2x-1$で割った余りを$ax+b$とする．このとき$a$と$b$は整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．
国立 横浜国立大学 2013年 第3問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
国立 横浜国立大学 2013年 第4問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
国立 一橋大学 2013年 第1問$3p^3-p^2q-pq^2+3q^3=2013$を満たす正の整数$p,\ q$の組をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}
(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．
国立 名古屋大学 2013年 第2問$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．
(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．
(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．
国立 大阪大学 2013年 第3問$4$個の整数
\[ n+1,\quad n^3+3,\quad n^5+5,\quad n^7+7 \]
がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない．これを証明せよ．
\[ n+1,\quad n^3+3,\quad n^5+5,\quad n^7+7 \]
がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない．これを証明せよ．
国立 大阪大学 2013年 第5問$n$を3以上の整数とする．$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある．以下のように，$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に，球を箱に1つずつ入れていく． \\
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
国立 岡山大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
国立 岡山大学 2013年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し，その値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)正の整数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とするとき，
\[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \]
が成り立つことを示せ．
(3)$109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ．
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$で定まる座標平面上の$1$次変換を$f$とする．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，長さの比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}$は$\mathrm{P}$によらないことを示し，その値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)正の整数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とするとき，
\[ p_n^2+r_n^2=(a^2+b^2)^n,\quad q_n^2+s_n^2=(a^2+b^2)^n \]
が成り立つことを示せ．
(3)$109^2=l^2+m^2$を満たす正の整数$l,\ m$を一組求めよ．