$n$は整数の定数とし，$P(x)=x(x+1)(x+5)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(1)$を解け．
(2)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(n)$が異なる$3$つの実数解をもつとき，$n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right)$とし，$pA+qE$（$p,\ q$は実数）の形の$2$次正方行列全体の集合を$M$とする．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(i) $A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^{-1}$は集合$M$に属することを示せ．

(3)$m,\ n$を正の整数として次の命題を考える．

「$m^2+2n^2$が$3$の倍数でない \quad $\Longrightarrow$
（$m$は$3$の倍数でない$\ $または$\ n$は$3$の倍数である）」

(i) この命題の対偶を述べよ．
(ii) この命題が偽であることを示せ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$で表すとき
\[ 4[x]^2-36[x]+45<0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{CE}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{OF}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\sqrt{x^2+84}$が整数となるような正の整数$x$をすべて求めよ．

$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：

(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．

例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問題に答えよ．

(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$および辺$\mathrm{AC}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$および点$\mathrm{E}$がある．直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{P}$を通る直線が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=1:2$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$のとき，次の$(1)$および$(2)$の設問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AF}$と$\mathrm{FB}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．
(2)$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の長さの比を簡単な整数比で求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．

(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）

$1$から$1000$までの整数のうちで，それぞれ次の条件を満たすものの個数を求めなさい．

(1)$5$の倍数であり，かつ$7$の倍数である整数．
(2)$5$の倍数であるか，または$7$の倍数である整数．
(3)$5$でも$7$でも割り切れない整数．
(4)$5$または$7$のどちらか一方のみで割り切れる整数．
(5)$5,\ 7,\ 9$のいずれか$1$つのみで割り切れる整数．

すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．

(1)整数列$\{\alpha_n\},\ \{\beta_n\}$を次で定める．
\[ (5+2 \sqrt{6})^n=\alpha_n+\sqrt{6}\beta_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) 数列$\gamma_n=\alpha_n-\sqrt{6}\beta_n$は等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii) 一般項$\alpha_n,\ \beta_n$を求めよ．

(2)整数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$を次で定める．
\[ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{2}b_n+\sqrt{3}c_n+\sqrt{6}d_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3$をそれぞれ求めよ．
(ii) 一般項$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を先の$\alpha_n,\ \beta_n$を用いて表せ．