次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 3-\sqrt{5}+\frac{m}{3-\sqrt{5}}=n$をみたす整数$m$と$n$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^{12} \{ \log (e^{2k}x^2+e^{-2k})-\log (e^{-2k}x^2+e^{2k}) \}$とおくとき，$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} F(x)$と$\displaystyle \beta=\lim_{x \to 0} F(x)$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(3)$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が$f(0)=-6$，$g(0)=2$，$g(x)>0$，$g^\prime(x)=f^\prime(x)+4x+3$，$\displaystyle f^\prime(x)=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g(x)}-2xg(x)$をみたすとき，$\displaystyle g(x)=\frac{ax}{x^2+4}+b$となる定数$a$と$b$を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$と$g^\prime(x)$はそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の導関数である．

さいころを$2$回続けて投げる．出た目の数の積を$A$とし，$B=\sqrt{A}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$が奇数となる確率$p$と$B$が整数となる確率$q$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+(\sqrt{3}-1) \cos x$とおくとき，$f(x)=C \sin x+D \cos x$となる定数$C$と$D$を求めよ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle g(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{5 \pi}{4} \right)+(1-\sqrt{3}) \cos x$を$f(x)$を用いて表せ．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$g(x)$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対して$\displaystyle T(x)=\sqrt{2} \sin \left( x+A \pi+\frac{\pi}{4} \right)+(-1)^A (\sqrt{3}-1) \cos x$とおく．$T(x)>0$となる確率$r$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$n$を正の整数，$A^1=A$とする．

(1)等式$A(A-E)=A-E$が成り立つことを示せ．
(2)$A^{n+1}-A^n$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．

$a,\ b$は定数で，$a \geqq b$である．

(1)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$つの解が正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$および$x^2-bx+a=0$の解がすべて正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．

$1$辺の長さが$a_1$の正五角形を$\mathrm{P}_1$とする．$\mathrm{P}_1$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_2$とし，$\mathrm{P}_2$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_3$とする．このように対角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，$n>1$における$\mathrm{P}_n$の$1$辺の長さを$a_n$とし，以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を$a_1$と$n$を用いて表せ．
(2)整数の数列$\{x_n\}$と$\{y_n\}$を用いて
\[ a_n=\frac{x_n+\sqrt{5}y_n}{2} \]
と書けるとする．このとき，$x_{n+2}$を$x_n$と$x_{n+1}$を用いて表せ．

異なる$n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n$の中から重複を許して$2$個の整数を選び，すべての組合せについて，$2$数の和および積をたし合わせたものをそれぞれ$S(n)$，$T(n)$とする．$n \geqq 2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$S(3)$，$T(3)$を求めよ．
(2)$S(n)$，$T(n)$を$n$の式で表せ．

異なる$n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n$の中から$3$個の整数を選び，それらの和を$3$で割った余りが$0,\ 1,\ 2$となる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$，$r_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)同じ整数を重複して選ぶことを許すとき，$p_9$，$q_9$，$r_9$を求めよ．
(2)同じ整数を重複して選ぶことを許さないとき，

(i) $p_{3k}$，$q_{3k}$，$r_{3k}$を$k$を用いて表せ．ただし，$k \geqq 3$とする．
(ii) $\displaystyle \lim_{k \to \infty} p_{3k}$を求めよ．

$n,\ m$を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$n^2$を$5$で割った余りは$0,\ 1$または$4$であることを証明せよ．
(2)$n$を$5$で割った余りが$4$のとき，$n^2+n$は$5$の倍数であることを証明せよ．
(3)$m>1$のとき，$m^3-m$が$6$の倍数であることを証明せよ．

以下の各問に答えよ．

(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．

(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．

(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．

(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．

$n$は正の整数とする．等式$\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x^2+\cdots +\comb{n}{n}x^n={(1+x)}^n$を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．

(1)$\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\cdots +{(-1)}^n \cdot \comb{n}{n}=0$
(2)$\comb{n}{1}+2 \cdot \comb{n}{2}+3 \cdot \comb{n}{3}+\cdots +n \cdot \comb{n}{n}=n \cdot 2^{n-1}$
(3)$\comb{n}{0}+2 \cdot \comb{n}{1}+3 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +(n+1) \cdot \comb{n}{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$