$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．

\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．

時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．

(1)時刻$t=1$とする．

(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．

(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．

$n$は自然数，$m$は整数，$k,\ \alpha,\ \beta$は実数とする．

(1)$\alpha \geqq 1$，$\beta \geqq 1$のとき，$\alpha\beta \geqq \alpha+\beta-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x$に関する$2$次方程式$x^2-mx+k=0$の$2$つの解を$p,\ q$とする．$p$が整数ならば，$q$と$k$も整数であることを示せ．
(3)$x$に関する$2$次方程式$x^2-n^2x+n=0$は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)$x$に関する$2$次方程式$x^2-(n-2)^2x+n=0$が整数の解をもつとき，$n$の値とその解をすべて求めよ．

$n$は自然数，$m$は整数，$k,\ \alpha,\ \beta$は実数とする．

(1)$\alpha \geqq 1$，$\beta \geqq 1$のとき，$\alpha\beta \geqq \alpha+\beta-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x$に関する$2$次方程式$x^2-mx+k=0$の$2$つの解を$p,\ q$とする．$p$が整数ならば，$q$と$k$も整数であることを示せ．
(3)$x$に関する$2$次方程式$x^2-n^2x+n=0$は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)$x$に関する$2$次方程式$x^2-(n-2)^2x+n=0$が整数の解をもつとき，$n$の値とその解をすべて求めよ．

$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．

\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．

時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．

(1)時刻$t=1$とする．

(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．

(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．

$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．

\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．

時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．

(1)時刻$t=1$とする．

(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．

(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．

$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．

(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．

(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．

(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．

(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．