以下の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．

(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．

(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]

$n$を正の整数とする．次の命題を証明せよ．

(1)$n^2$が奇数ならば，$n$は奇数である．
(2)$n^3$が$5$で割り切れるならば，$n$は$5$で割り切れる．

箱の中に，$1$から$4$までの整数が$1$つずつ重複せずに書かれた$4$枚のカードが入っている．この箱から$2$枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方を$a$，大きい方を$b$とする．また，放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とし，$\ell$に平行で点$(b,\ b^2)$を通る直線を$m$とする．さらに，放物線$C$と直線$m$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$m$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．

$A,\ E$はそれぞれ行列$\left( \begin{array}{cc}
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A(A+2E)=a_1(A+2E)$，$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$，$b_1$を求めよ．
(2)各自然数$n$に対して
\[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \]
となる数$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)各自然数$n$に対して，$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ．
(5)各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ．

座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2$，直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．

$1$以上の整数$p,\ q$に対し，$\displaystyle B(p,\ q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, dx$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$B(p,\ q)=B(q,\ p)$が成り立つことを示せ．
(2)関係式
\[ B(p,\ q+1)=\frac{q}{p} B(p+1,\ q) \qquad B(p+1,\ q)+B(p,\ q+1)=B(p,\ q) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関係式
\[ B(p+1,\ q)=\frac{p}{p+q} B(p,\ q) \qquad B(p,\ q+1)=\frac{q}{p+q} B(p,\ q) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$B(5,\ 4)$を求めよ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$1$以上の整数$p,\ q$に対し，$\displaystyle B(p,\ q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \, dx$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$B(p,\ q)=B(q,\ p)$が成り立つことを示せ．
(2)関係式
\[ B(p+1,\ q)=\frac{p}{p+q} B(p,\ q) \qquad B(p,\ q+1)=\frac{q}{p+q} B(p,\ q) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$B(5,\ 4)$を求めよ．