$\mathrm{A}$の箱には$1$から$20$までの整数が$1$つずつ書かれた$20$枚のカードが入っている．$\mathrm{B}$の箱には$1$から$30$までの整数が$1$つずつ書かれた$30$枚のカードが入っている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の箱から$1$枚ずつカードを取り出し，取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和を$X$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$が$2$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$X$が$2$の倍数であるが$5$の倍数でない確率を求めよ．
(3)$X$が$5$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$X$が$2$の倍数にも$5$の倍数にもならない確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

$n$を自然数とし，次の漸化式で$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定める．

$a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=1,\ b_2=1,\ b_3=1,\ b_{n+3}=3b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いよ．

(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$6$項をそれぞれ求めよ．
(2)$a_{n+6}=8a_n$となることを示せ．
(3)$m$を$0$以上の整数とするとき，$a_{6m+1}$と$b_{6m+1}$を$m$を用いて表せ．
(4)$6$で割った余りが$1$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．
(5)$6$で割った余りが$3$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

自然数$n$に対し，$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件$\mathrm{C}_{12}$：$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
条件$\mathrm{C}_{123}$：$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$，$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
例えば，$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが，条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない．
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち，条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$，条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(4)$と$g(4)$を求めよ．
(2)$f(n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．
(4)$g(n)$を$n$を用いて表せ．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，実数$k,\ m,\ n$に対して
\[ k \overrightarrow{\mathrm{PO}}+m \overrightarrow{\mathrm{PA}}+n \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)$k=4$，$m=1$，$n=2$のとき，$\triangle \mathrm{POA}$，$\triangle \mathrm{POB}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$k \geqq 1$，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$0$以上の整数$n$に対して，$2$次方程式$x^2+2(n-5)x+n^2-n=0$が実数解をもつとする．このとき，$n$の値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の$2$乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は$a+d=0$，$ad-bc=1$をみたす実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$A^2=-E$を示せ．
(2)$p,\ q$は実数で$p^2+q^2 \neq 0$をみたすとする．実数$x,\ y$に対して$(pA+qE)(xA+yE)=E$が成り立つとき，$x,\ y$を$p,\ q$で表せ．
(3)$\theta$を実数とする．すべての正の整数$n$に対して
\[ \{(\cos \theta)E+(\sin \theta)A \}^n=(\cos n\theta)E+(\sin n\theta)A \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ここで，$(\sin \theta)A$は行列$A$の$\sin \theta$倍を表す．

次の問いに答えよ．

(1)$a+b+c+d=10$を満たす自然数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(2)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たし，どれも$0$とはならない整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．
(3)$|a|+|b|+|c|+|d|=10$を満たす整数$a,\ b,\ c,\ d$の組の総数を求めよ．

$n$を正の整数とし，$x \geqq 0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle r_n(x)=e^x-\left( 1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots +\frac{1}{n!}x^n \right)$とする．$r_n(x) \geqq 0$を$n$に関する数学的帰納法を使って示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^n e^{-x}=0$を示せ．
(3)$t \geqq 0$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^t x^n e^{-x} \, dx$とする．$\displaystyle \lim_{t \to \infty}f(t)$を求めよ．