$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．

(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．

(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．

(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．

$3$以上の奇数$n$に対して，$a_n$と$b_n$を次のように定める．
\[ a_n=\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n-1} (k-1)k(k+1),\quad b_n=\frac{n^2-1}{8} \]

(1)$a_n$と$b_n$はどちらも整数であることを示せ．
(2)$a_n-b_n$は$4$の倍数であることを示せ．

$n,\ m$を$0$以上の整数とし，
\[ I_{n,m}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \sin^m \theta \, d\theta \]
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2)次の式
\[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \]
を示せ．
(3)次の式
\[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \]
を示せ．ただし$0!=1$とする．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．

(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

$n$を$3$以上の整数とし，$a,\ b,\ c$は$1$以上$n$以下の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a<b<c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(2)$a \leqq b \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(3)$a<b$かつ$a \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=[x]+2(x-[x])-(x-[x])^2 \]
と定める．ここで，$[x]$は$n \leqq x$を満たす最大の整数$n$を表す．

(1)$f(x) \geqq x$であることを示せ．
(2)$f(x+1)=f(x)+1$であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$において，$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$0 \leqq a<1$とするとき，$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$を求めよ．

整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ((2n+1)x)}{\sin x} \, dx \]
とする．

(1)$I_0$を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$I_n-I_{n-1}$を求めよ．
(3)$I_5$を求めよ．

$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．

$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．

最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．

(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）