「整数」について
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国立 東京大学 2014年 第4問$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
国立 横浜国立大学 2014年 第2問$r$を$0<r<1$をみたす定数とする．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定める．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \]
を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
n \text{が奇数のとき} & b_n=n \\
n \text{が偶数のとき} & b_n=2n
\end{array} \]
で定める．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}r^{\frac{b_k}{n}} \]
を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定める．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \]
を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
n \text{が奇数のとき} & b_n=n \\
n \text{が偶数のとき} & b_n=2n
\end{array} \]
で定める．このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}r^{\frac{b_k}{n}} \]
を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第5問$r$を$0$以上の整数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．
\[ a_1=r,\quad a_2=r+1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，素数$p$を$1$つとり，$a_n$を$p$で割った余りを$b_n$とする．ただし，$0$を$p$で割った余りは$0$とする．
(1)自然数$n$に対し，$b_{n+2}$は$b_{n+1}(b_n+1)$を$p$で割った余りと一致することを示せ．
(2)$r=2,\ p=17$の場合に，$10$以下のすべての自然数$n$に対して，$b_n$を求めよ．
(3)ある$2$つの相異なる自然数$n,\ m$に対して，
\[ b_{n+1}=b_{m+1}>0,\quad b_{n+2}=b_{m+2} \]
が成り立ったとする．このとき，$b_n=b_m$が成り立つことを示せ．
(4)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ \cdots$に$p$で割り切れる数が現れないとする．このとき，$a_1$も$p$で割り切れないことを示せ．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問正の整数$n$に対して，半径$1$の円に内接する正$4n$角形の面積を$S_n$とし，外接する正$4n$角形の面積を$T_n$とする．このとき，$S_n>0.95T_n$となる最小の数$n$を求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第2問大小合わせて$2$個のサイコロがある．サイコロを投げると，$1$から$6$までの整数の目が等しい確率で出るとする．
(1)$2$個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(1)$2$個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$r$を$0<r<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3)$a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}r^{a_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．ただし以下では，実数$x$に対して，$[x]$は$l \leqq x<l+1$をみたす整数$l$を表す．
(1)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{2} \right]$で定めるとき，$S_{2n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\left[ \frac{n}{3} \right]$で定めるとき，$S_{3n}$を$r$と$n$の式で表せ．
(3)$a_1=0$，$a_n \leqq a_{n+1} \leqq a_n+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$および$S_{2014}=0$をみたす数列$\{a_n\}$のうち，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2014} r^{a_k}$を最小にする数列$\{a_n\}$の第$2014$項を求め，そのときの最小値を$r$の式で表せ．
国立 一橋大学 2014年 第3問円$C:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を通り$\ell$と平行な直線を$m$とする．直線$m$と円$C$の$(1,\ 0)$以外の共有点を$\mathrm{P}^\prime$とする．ただし，$m$が直線$x=1$のときは$\mathrm{P}^\prime$を$(1,\ 0)$とする．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）