$n$を$3$以上の整数とする．$(x-1)^2P(x)+ax+b=x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1$が成り立っているとする．ただし$P(x)$は$x$の整式とし，$a,\ b$は定数であるとする．この等式の左辺を微分すると$[$6$]$である．このとき$(a,\ b)=[$7$]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の不等式を解きなさい．

(i) $-x<6$
(ii) $-3x+1<x<5x-8$

(2)$(x-3)(x+3)(x^2+9)(x^4+81)$を展開しなさい．
(3)以下の数を有理数，無理数，整数，自然数，実数に分類し解答欄に記入しなさい．
\[ 0.5 \qquad \sqrt{2} \qquad 4 \qquad -18 \qquad 0 \qquad 0.\dot{3} \]
解答欄

\begin{tabular}{|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|p{22mm}|}
\hline
有理数 & 無理数 & 整数 & 自然数 & 実数 \\ \hline
& $\phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}$ & & & \\ \hline
\end{tabular}

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

(i) $(x-1)(x-2)(x+2)(x+1)$
(ii) $(x+3)^2(x-3)^2$

(2)$m+n=1$となる整数$m$と自然数$n$の組み合わせを次の$\zenkakkoa$～$\zenkakkoki$からすべて選びなさい．
$\zenkakkoa m=1,\ n=0$ \qquad $\zenkakkoi m=0,\ n=1$ \qquad $\zenkakkou m=3,\ n=-2$
$\displaystyle \zenkakkoe m=-0.5,\ n=1.5$ \qquad $\displaystyle \zenkakkoo m=\frac{3}{5},\ n=\frac{2}{5}$ \qquad $\zenkakkoka m=-\sqrt{1},\ n=\sqrt{4}$
$\zenkakkoki m=-5,\ n=6$

(3)$\displaystyle -\frac{4x-1}{3} \leqq x+1$を解きなさい．

(4)$|x+6|>3x$を解きなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \]
(2)$n$を正の整数とする．曲線
\[ y=e^{-x} \sin x \quad ((n-1) \pi \leqq x \leqq n\pi) \]
と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V_n$を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$V_n$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_{2n-1}=V_1+V_3+V_5+\cdots$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

$l,\ m$を$0$以上の整数とする．$n$を自然数とする．実数の数列$\{a_n\}$に対して$x$の$l$次多項式$P_m(x) (l \leqq m)$が$P_m(n)=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1)$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1$のとき，$P_{m+1}(n)-P_m(n)$の値をすべて求めよ．
(2)$P_{m+1}(0)-P_m(0)={(-1)}^{m+1}(a_{m+2}-P_m(m+2))$となることを示せ．
(3)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ a_4=5$のとき，$P_3(6)$の値を求めよ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$3^{30}$は何桁の整数か．
(2)$3^{30}$の一の位の数字と最高位の数字を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$村では人口減少が続いており，毎年$2 \, \%$ずつ減少している．毎年このままの比率で人口が減少すると仮定した場合，はじめて人口が現在の半分以下になるのは何年後かを答えなさい．

$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする．次に，点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする．また，四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ．
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ．
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$3$を引いても$12$を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(2)$3^n$を$5$で割ると$1$余るという性質を持つ最小の自然数$n$は何か答えなさい．
(3)$179x+767y=1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．

(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．