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私立 西南学院大学 2015年 第5問以下の問に答えよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．
私立 京都産業大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=e^{-x} \sin x$と$g(x)=e^{-x} \cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(3)$k$を$0$以上の整数とする．定積分$\displaystyle \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を$k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(1)$2$つの関数$f(x)=e^{-x} \sin x$と$g(x)=e^{-x} \cos x$を微分せよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
(3)$k$を$0$以上の整数とする．定積分$\displaystyle \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を$k$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^{n \pi} e^{-x} \sin x \, dx$の値を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
(1)$\displaystyle 3+\frac{n-2}{2}<\frac{n}{3}$を満たす最大の整数$n$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を定数とする．ただし$a \neq 0$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$(-1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(3,\ -6)$を通るとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$桁の整数は全部で$[ア]$通りであり，その中で$2015$以下の整数は$[イ]$通りである．ただし，同じ数字は繰り返し使わないものとする．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{8}{\sin A}=\frac{7}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}$である．このとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(5)方程式$|x^2-2|=x$の解を求めよ．
私立 天使大学 2015年 第5問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
私立 大阪工業大学 2015年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
私立 京都産業大学 2015年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$がある．ここで，$a,\ b$は正の整数である．
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す．ここで，格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数である点のことである．また，三角形の内部は，その三角形の頂点，辺を含まないものとする．
(1)$a=4,\ b=4$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり，それらの座標は$[ ]$である．したがって，$f(4,\ 4)=3$である．
(2)$f(4,\ 8)=[ ]$である．
(3)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(4)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(5)$n$を$2$以上の整数，$k$を$3$以上の整数とする．$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$[ ]$である．
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す．ここで，格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数である点のことである．また，三角形の内部は，その三角形の頂点，辺を含まないものとする．
(1)$a=4,\ b=4$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり，それらの座標は$[ ]$である．したがって，$f(4,\ 4)=3$である．
(2)$f(4,\ 8)=[ ]$である．
(3)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(4)$2$以上の整数$n$に対し，$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$[ ]$である．
(5)$n$を$2$以上の整数，$k$を$3$以上の整数とする．$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$[ ]$である．
私立 昭和薬科大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．
私立 崇城大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．
(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．
(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．
(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．
(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．
(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．
(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．
(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．
私立 崇城大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$6$枚のカード$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$4$}$が入った袋から，同時に$4$枚のカードを取り出す．ただし，同じ数字が書かれたカードは区別しないものとする．
(i) 取り出し方は何通りあるか．
(ii) 取り出したカードを並べて$4$桁の整数を作るとき，$3300$より大きい整数はいくつできるか．
(2)次の各問に答えよ．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta+\sin \theta$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(ii) $x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy-y^2$の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)$6$枚のカード$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$4$}$が入った袋から，同時に$4$枚のカードを取り出す．ただし，同じ数字が書かれたカードは区別しないものとする．
(i) 取り出し方は何通りあるか．
(ii) 取り出したカードを並べて$4$桁の整数を作るとき，$3300$より大きい整数はいくつできるか．
(2)次の各問に答えよ．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta+\sin \theta$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(ii) $x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy-y^2$の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
私立 東京薬科大学 2015年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．