「整数」について
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私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．
ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}
\end{screen}
私立 上智大学 2015年 第3問実数からなる集合$A,\ B,\ C$を以下のように定義する．
$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$
$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$
ただし，$b,\ c$は正の実数とする．
(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}
\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，
条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$
が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．
$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$
$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$
ただし，$b,\ c$は正の実数とする．
(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}
\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，
条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$
が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．
私立 上智大学 2015年 第3問$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合
$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$
を考える．
(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合
$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$
を考える．
(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．
(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[ ]}{[ ]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
私立 早稲田大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
私立 早稲田大学 2015年 第3問整数$n$に対し，整数$f(n)$が次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすように定義されている．
(i) $f(2015)=0$
(ii) すべての整数$n$に対して，$f(f(n)+4)=n$
(iii) すべての整数$n$に対して，$f(2n)<f(2n+2)$
次の設問に答えよ．
(1)$f(4)$を求めよ．
(2)整数$n$に対し，$f(4n+1)$を求めよ．
(i) $f(2015)=0$
(ii) すべての整数$n$に対して，$f(f(n)+4)=n$
(iii) すべての整数$n$に対して，$f(2n)<f(2n+2)$
次の設問に答えよ．
(1)$f(4)$を求めよ．
(2)整数$n$に対し，$f(4n+1)$を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第2問$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．
(ii) $N \geqq 4$とする．
$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．
(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．
(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．
私立 上智大学 2015年 第3問$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．
(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．
(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．
(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．
私立 上智大学 2015年 第4問$1$から$9$の整数が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから$1$枚ずつ$2$回カードを取り出す．最初に取り出したカードを元に戻してから次のカードを取り出す場合を「戻す場合」といい，最初のカードを戻さずに次のカードを取り出す場合を「戻さない場合」ということにする．最初に取り出したカードに書かれている数を$a$とし，次に取り出したカードに書かれている数を$b$とする．
(1)戻す場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，戻さない場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(2)戻す場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．
(3)戻す場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．
(1)戻す場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，戻さない場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(2)戻す場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．
(3)戻す場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．