「整数」について
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国立 信州大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
国立 信州大学 2015年 第3問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
国立 秋田大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．
(2)整数$a,\ b,\ c$に対して，$a+b+c$と$abc$が$3$の倍数のとき，$a^3+b^3+c^3$は$9$の倍数であることを示せ．
(3)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=6$，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$を満たすとき，$a^3+b^3+c^3+3abc$の値を求めよ．
(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．
(2)整数$a,\ b,\ c$に対して，$a+b+c$と$abc$が$3$の倍数のとき，$a^3+b^3+c^3$は$9$の倍数であることを示せ．
(3)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=6$，$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}$を満たすとき，$a^3+b^3+c^3+3abc$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第2問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$をとる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{X}$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Y}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，$(3)$で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，$(3)$で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．
(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．
(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．
国立 岩手大学 2015年 第4問$a_3=4$，$a_8=3$である等差数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$および$a_{99}$を求めよ．
(2)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．
(3)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．
(1)$a_1$および$a_{99}$を求めよ．
(2)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．
(3)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第4問$a_3=4$，$a_8=3$である等差数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$および$a_{99}$を求めよ．
(2)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．
(3)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．
(1)$a_1$および$a_{99}$を求めよ．
(2)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数となるものの個数を求めよ．
(3)$99$個の項$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{99}$のうち，整数でないものすべての和を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問実数$x \neq 1$について定義される関数
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
(1)$\mathrm{SATTUN}$という$6$文字を並びかえて得られる順列のうち，最初が子音文字になるものの総数を求めよ．
(2)半径$r$の円$\mathrm{O}^\prime$が半径$2r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{P}$で内接し，さらに円$\mathrm{O}^\prime$は円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{Q}$で接している．線分$\mathrm{PQ}$の延長が円$\mathrm{O}$と交わる点を$\mathrm{M}$とする．$\angle \mathrm{PQB}={60}^\circ$のとき，線分$\mathrm{QM}$の長さを求めよ．
(3)$1$次不定方程式
\[ 37x+32y=1 \]
の整数解を$1$組求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．