以下の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．

(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数

$n$を自然数とし，$k$を$0 \leqq k \leqq 2n-1$を満たす整数とする．次の問いに答えなさい．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{k}{n} \pi}^{\frac{k+1}{n} \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) \sin nx \, dx$の値を$n$と$k$を用いて表しなさい．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \left( x+\frac{\pi}{2} \right) |\sin nx| \, dx$の値を求めなさい．

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

$m$を$2015$以下の正の整数とする．$\comb{2015}{m}$が偶数となる最小の$m$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の有理数として整式

$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$

を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を正の実数として整式

$f(x)=ax^2+bx+c$
$g(x)=dx+e$

を考える．すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}$は整数であるとする．このとき，$f(x)$は$g(x)$で割り切れることを示せ．

$n$を$2$以上の整数とする．$n$以下の正の整数のうち，$n$との最大公約数が$1$となるものの個数を$E(n)$で表す．たとえば
\[ E(2)=1,\quad E(3)=2,\quad E(4)=2,\ \quad\cdots,\quad E(10)=4,\ \quad \cdots \]
である．

(1)$E(1024)$を求めよ．
(2)$E(2015)$を求めよ．
(3)$m$を正の整数とし，$p$と$q$を異なる素数とする．$n=p^mq^m$のとき$\displaystyle \frac{E(n)}{n} \geqq \frac{1}{3}$が成り立つことを示せ．

どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．

さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．

(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．