次の各設問に答えよ．

(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[　] n+[　]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[　]$である．

数列$\{a_n\}$を$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$により定義すると，$a_n$は整数である．次の問いに答えよ．

(1)この数列の連続する$3$項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j a_j=-a_1+a_2- \cdots +(-1)^na_n$とおくと，$S_n=(-1)^n a_{n-1} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする．ただし$B \neq 0$とする．

(1)自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3)$\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．

$2$次不等式$x^2-11x+28<0$を満たす実数$x$の集合を$A$，$x^2-(a+2)x+2a<0$を満たす実数$x$の集合を$B$とする．ここで，$a$は定数で，$a>2$とする．また，$\phi$を空集合，実数全体の集合$U$を全体集合とし，$A,\ B$の補集合を$\overline{A},\ \overline{B}$とする．以下の問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．

\mon[$①$] $x^2-11x+28<0$
\mon[$②$] $x^2-(a+2)x+2a<0$

(2)$A \cap B=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$A \cap B$が整数を$1$つだけ含むように$a$の値の範囲を定めよ．
(4)$\overline{A} \supset \overline{B}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$\overline{B} \supset A$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次不等式$3x^2-9x+2>0$を満たす実数$x$の集合を$C$とし，その補集合を$\overline{C}$とする．

\mon[$(6$-$1)$] $B \cap C=\phi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
\mon[$(6$-$2)$] $\overline{C}$の要素で，整数であるものをすべて求めよ．

$xy$平面で，次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ D:|x|+2 |y| \leqq 60 \]
以下の設問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．
\[ m+2n \leqq 60,\quad m \geqq 1,\quad n \geqq 1 \]
(3)$D$に含まれる整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．

係数$a,\ b$が整数である$3$次方程式$x^3+ax^2+bx+1=0$が$2$つの虚数解と$1$つの整数解をもつ．これを満たす整数の組$(a,\ b)$は$[キ]$組あり，そのうち$a$の値が最大となる組は$(a, \ b)=([ク],\ [ケ])$である．

$n$を正の整数として，

$A_n=2 \cdot \comb{n}{2}+3 \cdot 2 \cdot \comb{n}{3}+4 \cdot 3 \cdot \comb{n}{4}+\cdots +n \cdot (n-1) \cdot \comb{n}{n}$
$\displaystyle B_n=\comb{n}{0}-\frac{\comb{n}{1}}{2}+\frac{\comb{n}{2}}{3}-\cdots +{(-1)}^n \cdot \frac{\comb{n}{n}}{n+1}$

とする．このとき，$A_n \cdot B_{n-1}=(n+[ネ]) \cdot {[ノ]}^{n+\mkakko{ハ}}$となる．

次の各問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-x-8=|x|$を解け．
(2)$xy+3x-y-3=5$を満たす整数$x,\ y$の組を求めよ．
(3)$1$日の天気を晴れ，曇り，雨の$3$通りだとする．$4$日間で，晴れの日がちょうど$2$日ある場合は何通りあるか．

以下の問いに答えなさい．

(1)任意の整数$m$に対して，$m^2$を$3$で割ると余りは$0$または$1$になることを示しなさい．
(2)整数$a,\ b,\ c$が$a^2 +b^2 = c^2$を満たしているとすると，積$ab$は$12$で割り切れることを示しなさい．

整数の値をとる整数$n$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(n)= \frac{1}{2}n(n+1),\quad g(n)=(-1)^n \]
で定め，その合成関数を$h(n)=g(f(n))$とする．さらに，1つのさいころを4回振って，出た目の数を順に$j,\ k,\ l,\ m$として$a=h(j),\ b=h(k),\ c=h(l),\ d=h(m)$とおき，関数
\[ P(x) = ax^3-3bx^2+3cx-d \]
を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$に対して，$h(n)$の値を求めなさい．
(2)$P(x)$がある点で極値をとる関数になる確率を求めなさい．
(3)$P(x)$が点$(1,\ P(1))$を変曲点に持つ関数になる確率を求めなさい．
(4)$P(x)$が$P(1)=P^{\, \prime}(1)=P^{\, \prime\prime}(1)=0$を満たす関数になる確率を求めなさい．