以下の問に答えよ．

(1)$a$を$0$以上$7$以下の整数，$b$を$88$以下の正の整数，$c$を$1024$の倍数とする．このとき，$89a+b$のとり得る値の最大値は
[ア][イ][$1$]である．$89a+b-c+669$が$1024$の倍数のとき，$89a+b=[ウ][エ][$5$]$となって，$a=[オ]$，$b=[カ][$8$]$となる．
(2)数列
\[ \{a_n\} : \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
について次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \frac{35}{49}$は数列$\{a_n\}$の第$\kakkofour{キ}{ク}{ケ}{4}$項である．
(ii) 数列$\{a_n\}$の第$2008$項は
\[ a_{2008}=\frac{[コ][サ][9]}{[シ][3]} \]
である．
(iii) 数列$\{a_n\}$の初項から第$1005$項までの和は
\[ [ス][セ][5] \]
である．

方程式$3xy+3x+y = 5$を満たす$2$つの整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

$3$けたの整数のうち，百の位，十の位，一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか．また，同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか．

方程式$3xy+3x+y = 5$を満たす$2$つの整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

$3$けたの整数のうち，百の位，十の位，一の位の数のいずれかが偶数のものは何個あるか．また，同様にいずれかの位の数が奇数のものは何個あるか．

さいころを$4$回投げて，出た目を順に並べて$4$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)$4$桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に$5$の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に$3333$以上かつ$4444$未満の整数は何個あるか．

さいころを$4$回投げて，出た目を順に並べて$4$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)$4$桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に$5$の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に$3333$以上かつ$4444$未満の整数は何個あるか．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=4$となるようにとる．$\angle \mathrm{BAP}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，$\sin \alpha:\sin \beta$を整数の比で表せ．

関数$f(x)=x^3-px^2+(p^2-2p)x+q$（$p>0$，$q>0$，$p$および$q$は整数とする）について考える．$f(x)=0$が$1$つの負の実数解と相異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$pq$の値を求めよ．

$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数，} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする．たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので，$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である．

(1)得点が$9$である確率を求めよ．
(2)得点が$1$である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．