次の問いに答えよ．

(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．

$\displaystyle \frac{4}{4-\sqrt{6}}$の整数部分を求めよ．

実数$x$に対して，$x$以下で最大の整数を$x$の整数部分といい，$[x]$で表す．自然数$n$に対して，数列$\{a_n\}$を$a_n=[n\pi]$と定め，また数列$\{b_n\}$を，$b_1=b_2=b_3=0$，$n \geqq 4$のときは
\[ a_k<n \leqq a_{k+1} \quad \text{となる} n \text{に対して，} \quad b_n=k \]
と定める．ただし，$\pi$は円周率を表す．

(1)$b_4,\ b_5,\ b_7,\ b_{10}$を求めよ．
(2)自然数$p,\ q$に対して，$a_p<q$ならば$p\pi<q$であることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表せ．このとき，必要なら上記の整数部分を表す記号を用いてよい．

$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．

(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{11}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．$\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{a}{2}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき，$\displaystyle \frac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ．
(3)$a_1=2,\ a_{n+1}+3a_n=4 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{15}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$a=[1]$，$a^2-b(b+6)=[2]$である．
(2)不等式$2 |x-2|+|x-1|<3$の解は，$[3]<x<[4]$である．
(3)$x$の$3$次方程式$x^3+ax^2+bx-12=0$の$3$つの解が$-1,\ 3,\ c$であるとき，$a=[5]$，$b=[6]$，$c=[7]$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目のうち最も大きな目を$m$とする．このとき，$m=2$となる確率は$[8]$であり，$m=3$となる確率は$[9]$である．また$m \geqq 4$となる確率は$[10]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=[ア]$である．また，$a^2-ab-b^2=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$に対して，$3$次方程式$ax^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,\ b)=[ウ]$であり，この方程式の実数解は$[エ]$である．
(3)$2$次方程式$\displaystyle ax^2-\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta$，$\cos \theta$であるとき，$a$の値は$[オ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値は$[カ]$である．
(4)直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ -1)$に対して，$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の最小値は$[キ]$であり，このときの$\mathrm{P}$の座標は$[ク]$である．
(5)実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a \cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ケ]<a<[コ]$である．

次の$[　]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．