「整数部分」について
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私立 広島経済大学 2015年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，
$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり
$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．
(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．
(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，
$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり
$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．
(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の各設問に答えなさい．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(i) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ii) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5)男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$[ア]$通りであり，両端に男子が並ぶのは$[イ]$通りである．
私立 近畿大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき
$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$
$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$
である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると
$a=[ク]$
$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$
$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$
である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき
$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$
$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$
である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると
$a=[ク]$
$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$
$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$
である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．
私立 近畿大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき
$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$
$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$
である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると
$a=[ク]$
$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$
$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$
である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$のとき
$x^3-2x^2+4x+2=[ア]+\sqrt{[イ]}i$
$\displaystyle x^4-2x^3+3x^2-7x=\frac{[ウ][エ]-[オ] \sqrt{[カ]}i}{[キ]}$
である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$2$次方程式$x^2-4x-3=0$の正の解の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると
$a=[ク]$
$b=\sqrt{[ケ]}-[コ]$
$\displaystyle \frac{a-b}{a+b}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}-[ス][セ]}{[ソ]}$
である．
(3)不等式$\log_9 (2-x)^2-\log_{\frac{1}{3}} (x-1)>\log_3 (3-2x)$の解は
\[ \frac{[タ]-\sqrt{[チ]}}{[ツ]}<x<\frac{[テ]}{[ト]} \]
である．
私立 東京薬科大学 2015年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．
公立 県立広島大学 2015年 第1問$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．
国立 大阪大学 2014年 第3問$\displaystyle \sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}}$の整数部分を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2014年 第1問$\displaystyle a<\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}<a+1$をみたす自然数$a$に対し，次の問いに答えなさい．
(1)$a$を求めなさい．
(2)$\displaystyle 10 \left( \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-a \right)$の整数部分を求めなさい．
(1)$a$を求めなさい．
(2)$\displaystyle 10 \left( \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-a \right)$の整数部分を求めなさい．
国立 名古屋大学 2014年 第4問負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．
(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．
(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．
私立 愛知学院大学 2014年 第1問実数$p,\ q$が$p+q=\sqrt{6}$，$p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．